0178

180

X. Zastosowania rachunku całkowego

Rzeczywiście, x = a (f—sin t), dx = a (1 —cos t) dt, zatem 2H

I V\ = na³ j (1—cos t)³ dt = ita³ 1 /—4sin t+ -i sin 2/+ y sin³ <)|^1ł'= 5n¹a³ . 0

5) Rozwiązać analogiczne zadanie dla asteroidy x^2/3+y²¹³ = a²¹³.

Mamy tu

y = (a²>³-x²>³)³'²,    | VI = 7t f (a²t³-x^2ls)³ dx = -~^a³.

Proponujemy czytelnikowi powtórzenie rachunków, wychodząc z równań parametrycznych asteroidy i dokonując w całce zamiany zmiennej (podobnie jak w zadaniu poprzednim).

6) Znaleźć objętość części wspólnej paraboloidy 2az — x²+y² i kuli x²+y²+z² = 3o². Rozwiązanie. Ponieważ obie te powierzchnie powstają przez obrót krzywych dokoła osi z, więc

bryła ograniczona przez nie jest bryłą obrotową. Powierzchnie te przecinają się po krzywej leżącej na płaszczyźnie z — a.

Płaszczyzny równoległe do osi z przecinają rozpatrywaną bryłę wzdłuż kół; kwadraty promieni tych kół są równe 2az, jeśli z < a i 3a²—z², gdy tylko z>a. Posługując się wzorem analogicznym do wzoru (16) otrzymujemy

*    •/¹"    3    _

| V\ = Ina j z dz+n / (3a²-z¹) dz =    (6 |/3 -5) .

o    „    3

7)    Znaleźć objętość części wspólnej kuli x²+y²+z² — R² i stożka x² = y²+z² (x > 0). Wskazówka. Krzywa, wzdłuż której przecinają się te powierzchnie, leży na płaszczyźnie x = Rl]/l •

Mamy więc

Rys. 30

Rys. 31

1

nT^{1    1}    -j

|K|=JI j x²dx+ j (R²—x²) dx =    — (2— }/% ) .

⁰    Klif^1    3

Do tej pory rozpatrywaliśmy przykłady zastosowania wzoru (16). Przejdziemy teraz do zastosowania ogólnego wzoru (15). Ponieważ we wszystkich przypadkach samo istnienie objętości łatwo wynika z rozważań podanych w ustępie 341, nie będziemy się na tym zatrzymywać i zajmiemy się tylko obliczaniem objętości.

8)    Wyznaczyć objętość odcinka walca. Tak nazywamy tu bryłę geometryczną, którą otrzymuje się przez obcięcie walca płaszczyzną przechodząca przez średnicę podstawy (rys. 30).