0204

206

X. Zastosowania rachunku całkowego

w szczególności dla c = 0 jest /, = -j^-bh²;

I, = 2 / x²\/r²-(x-c)² dx = nr²c²+±¹r¹,

e-r

w szczególności dla c = 0 mamy /, = -i- 7tr ⁴,

5)    Wyznaczyć moment bezwładności bryły K rozpatrzonej w zadaniu 1) względem wymienionej tam płaszczyzny. Zastosować otrzymany wzór do wyznaczenia momentu bezwładności: (a) stożka kołowego, (b) półkuli względem płaszczyzny podstawy.

& 12

Odpowiedź: I = J x²P (x) dx; w szczególności (a) / = nR²h³, (b) / = -jy kR^s.

m

6)    Ciśnienie cieczy na dowolny płaski element pola zanurzony na głębokość h pod jej powierzchnią jest równe ciężarowi słupa cieczy o wysokości h, którego podstawą jest ten przekrój. W ten sposób ciśnienie (w kG/m²) na głębokości h (w metrach) przypadające na jednostkę pola jest równe hy, gdzie y oznacza ciężar właściwy cieczy (w kG/m³).

Zakładamy, że w cieczy zanurzona jest pionowo figura płaska AtB^Ai (rys. 46) (‘).

Znaleźć całkowite ciśnienie hydrostatyczne W na tę figurę i jego moment M względem swobodnej powierzchni cieczy.

Element powierzchni dP — O2—yi) dx doznaje ciśnienia

d,W = yx O'2-ź'i) dx, którego moment względem osi y jest równy

dM = yx²(y₂—y_t) dx.

Stąd otrzymujemy

»    11

W=y j x(yt-y_l)dx, M = y f x²(y₂ -y,) dx.

• «

Pierwsza całka przedstawia oczywiście moment statyczny M, figury względem osi y; druga zaś — moment bezwładności I, figury względem tej samej osi.

Jeśli ( oznacza odległość środka ciężkości C figury od swobodnej powierzchni cieczy, a \P\ — pole tej figury, to możemy napisać, że W = y |P| f. Środek ciśnienia, tzn. punkt przyłożenia siły równoważącej całkowite ciśnienie, jest odległy od swobodnej powierzchni o

» ₌ M_ ₌ J£LL

W Iy

Zastosujemy ten wzór do przypadku przedstawionego na rysunku 47.

W przypadku a): 5 = c, |P| = bh i W = ybhc. Dalej, ponieważ w 4) obliczyliśmy już, że

/, = bc²h+

możemy od razu napisać

h² 12 c

f¹ ^ c+

W szczególności jeśli c = y h (tj. jeśli górny bok prostokąta leży na poziomie swobodnej powierzchni cieczy), to mamy

W=±ybh²,

1

Przyjmujemy, że oś y leży na swobodnej powierzchni cieczy.