0200

202

X. Zastosowania rachunku całkowego

Często zdarza się jednak, iż bardziej celowe jest założenie, że przy rozszerzaniu się gazu nie ma wymiany ciepła między gazem i otaczającym go środowiskiem. Wtedy na wykonanie pracy zużywa się energia samego gazu, którego temperatura przy tym się obniża. Taki proces nazywa się adiabatyczny. W tym przypadku zależność między ciśnieniem p i objętością V rozpatrywanej ilości gazu ma postać

pV^k = e = const

[zależność tę wyprowadzimy niżej, 361, 3)], gdzie k jest stałą charakterystyczną dla każdego gazu, zawsze większą od 1. Stąd mamy p = cV~^k i

A = / cV~*dV =    V¹-' * =    Vl~^k) = -1— l-±---¹—\ .

1 -k    1-k    l-k \y*-i    y*-i)

Wynik ten można napisać w bardziej dogodnej postaci, jeśli uwzględnić, że    = pi,cV₁~ⁱ = p_x;

wykonując odpowiednie podstawienie otrzymujemy następujące wyrażenie na pracę:

_{A =} Pi Vi -Pi Vi k-1

Tylkodla uproszczenia rozważań przyjęliśmy, że gaz jest zamknięty w cylindrze z tłokiem. Podstawowy wzór (10), jak również i wzory otrzymane z niego w szczególnych przypadkach, zachowują moc niezależnie od kształtu, jaki w każdej rozpatrywanej chwili ma dana ilość gazu. Rozumie się, że te same wzory wyrażąją również pracę potrzebną do ściśnięcia gazu od objętości V₂ do objętości V₂ < V₂ (któremu towarzyszy zwiększenie ciśnienia odp₂ dop₂>p₂), tzn. pracę siły zewnętrznej ściskającej gaz; praca samego gazu jest w tym przypadku ujemna!

355. Praca siły tarcia czopa płaskiego. Czopem nazywa się — ogólnie — część podporowa, obracającego się wału pionowego. Nieruchoma podpórka, w której obraca się czop, nazywa się łożyskiem. Obecnie rozpatrzymy zagadnienie, jaka siła potrzebna jest na przezwyciężenie tarcia czopów; ograniczymy się

przy tym do najprostszego przypadku — do czopów pła-kich.

Czop płaski ma kształt walcowy i opiera się swoją płaską podstawą na łożysku (rys. 45). Ta podstawa jest nąj-częściej pierścieniem kołowym; oznaczamy zewnętrzny promień tego pierścienia przez R, a wewnętrzny przez r₀. W przypadku r₀ — 0 otrzymujemy podstawę płaską kołową.

Oznaczymy dalej przez P całkowite ciśnienie, które wywiera czop, przez m (1/sek) — prędkość kątową obracającego się wału, przez p — ciśnienie na jednostkę pola czopu w rozpatrywanym punkcie.

b)

Nie poruszając na razie sprawy rozkładu ciśnień, zauważmy teraz tylko jedno : punkty czopa równo oddalone od jego środka znajdują się w jednakowych warunkach i wobec tego ciśnienie w takich punktach powinno być jednakowe. W ten sposób ciśnienie p można uważać za funkcję promienia r, tzn. odległości punktu od środka czopa. Później podamy założenia, które robi się zazwyczaj o tej funkcji; jednakże w każdym razie musi ona spełniać jeden warunek, a mianowicie całkowite ciśnienie na czop powinno się równoważyć z ciśnieniem P wału.

Aby obliczyć to całkowite ciśnienie zastosujemy znowu metodę sumowania elementów nieskończenie małych według schematu z ustępu 348, przy czym jako zmienną niezależną przyjmiemy promień r zmieniający się od r₀ do R. Rozbijamy ten przedział na części i w ten sposób rozbijamy cały pierścień na elementarne