0192

194

X. Zastosowania rachunku całkowego

Rozważania te odnoszą się w pełni do wszystkich trzech rozpatrywanych przykładów. Wzory na wielkości |S|, |?| i | V\ otrzymaliśmy poprzednio w trochę inny sposób dlatego, że zadanie polegało nie tylko na obliczeniu tych wielkości, ale również na udowodnieniu ich istnienia — zgodnie z wcześniej podaną definicją.

W ten sposób nasze zadanie sprowadza się do ustalenia przybliżonej równości (1), z której bezpośrednio otrzymuje się ostateczny wynik (2).

Zazwyczaj zamiast Ax! i AQ pisze się dx i dQ, a równość (1) dla „elementu” dQ wielkości Q pisze się w postaci

(3) dQ = q (x) dx .

Następnie sumuje się te elementy (w rzeczywistości bierze się całkę!), co prowadzi do wzoru (2) dla całej wielkości Q.

Podkreślamy, że bardzo istotne jest posługiwanie się tu całką zamiast zwykłej sumy. Suma dawałaby tylko wyrażenie przybliżone dla Q, ponieważ miałyby na nią wpływ błędy poszczególnych równości (3); przejście graniczne, które prowadzi od sumy do całki, usuwa błąd i daje wynik zupełnie dokładny. Najpierw więc, dla uproszczenia, w wyrażeniu na element dQ odrzuca się nieskończenie małe wyższych rzędów i uwzględnia się tylko jego główną część, a następnie, dla uzyskania wyniku dokładnego sumowanie zastępuje się całkowaniem. Okazuje się, że wynik otrzymany w ten prosty sposób jest dokładny.

Zadanie nasze można również rozpatrywać z innego punktu widzenia. Oznaczmy przez Q (x) część zmienną wielkości Q, odpowiadającą przedziałowi {a, x>, przy czym przyjmujemy, że Q (a) jest równe 0. Oczywiście rozpatrywana wyżej „funkcja przedzia-łu” Q «a, /?» wyraża się przez „funkcję punktu” Q (x), a mianowicie

G(<«,/»» = e(0>-e(«).

W naszych przykładach funkcje punktu są następujące: 1) zmienna długość luku »-AM, 2) pole zmiennego trapezu AA'M'M i wreszcie 3) objętość bryły otrzymanej przez obrót tego właśnie trapezu.

Wielkość A Q jest po prostu przyrostem funkcji Q (x), a iloczyn przedstawiający jego część główną jest różniczką tej funkcji [103, 104]. W ten sposób równość (3), napisana w postaci różniczek, w rzeczywistości jest nie równością przybliżoną, ale dokładną, jeśli tylko przez dQ rozumiemy właśnie różniczkę dQ (x). Stąd też wynika od razu żądany wynik

j q (*) dx = Q (b)—Q(a) = Q «a, b» = Q .

Zauważmy jednak, że w zastosowaniach wygodniejsza i płodniejsza jest idea sumowania elementów nieskończenie małych.

349. Znajdowanie momentów statycznych i środka ciężkości krzywej. Jak wiadomo, moment statyczny M punktu materialnego o masie m względem osi jest równy iloczynowi masy m przez odległość d punktu od osi. W przypadku n punktów materialnych, leżących w jednej płaszczyźnie z osią, w odległościach di, d₂.....rf„ od tej osi, moment statyczny wyraża się sumą

M = ]T m, </,,