0170
X. Zastosowania rachunku całkowego
9) W analogiczny sposób oblicza się pole figury organiczonej cykloidą x = a(/-sin/); y = «(1— cos /). Ze wzoru (13) mamy
m
|P| = J aJ(l—cos t)2 dt = a1 (-|-/-2sin/+ -isin 2/1’" = 3™?’ .
Okazuje się, że szukane pole jest równe potrojonemu polu koła, którego punkt zakreśla cykloidę. 10) Znaleźć pole jednego zwoju spirali Archimedesa: r = ad (rys. 25).
Ze wzoru (9) mamy
Rys. 25
ij*ii = 4«*f eve
2 ^ o lo 3
O
podczas gdy pole koła o promieniu 2na jest równe 4K1a2. Pole jednego zwoju spirali jest więc równe -i-pola kola (wynik ten znał już Archimedes).
Proponujemy, aby czytelnik udowodnił, że pola figur, ograniczonych kolejnymi zwojami krzywej, tworzą postęp arytmetyczny o różnicy 8rc1a2.
11) Znaleźć pole ślimaka
r = a cos 9+b (ó < a) .
Ze wzoru (9) mamy
jn
|P1 = i- J (a cos 9+b)2d9 = i- [(-1 u2+ b1) 0+ i a2 sin 20+2ab sin 0]|2" = ±n(a2+2b2).
W szczególności pole kardioidy (b = a) jest równe • jro2.
12) Znaleźć pole lemniskaty r2 = 2a2cos 2 0.
Wystarczy w tym celu podwoić pole prawego owalu, dla którego kąt 0 zmienia się od — n/4 do jj/4. Wobec tego
W/4 TT/4
|P| = 2--i-2a2 f cos 20 d0 = 4a2 j cos 20 d9 = 2a2 .
—1t/4 O
13) Znaleźć pole liścia Kartezjusza jc2+>’1—3 axy = 0.
Przejdźmy do współrzędnych biegunowych. Podstawiając w równaniu krzywej x = r cos 0, y =• = r sin 0 i skracając przez r2 dostajemy następujące równanie biegunowe:
r = 3a sin 0 cos 0 sin*0+cos*0
Ponieważ jedna pętla krzywej odpowiada kątom 0 od 0 do itf2, to w myśl wzoru (9) będzie
ir fi
9<P f sin20 cosł0
|P1 = f —-
2 J (sin10+cos20)2
O
Zastępując sin 0 przez tg 9- cos 0, doprowadzimy wyrażenie podcałkowe do postaci
d9.
tg20 </( tg 0)
(l+tg10)2 '
a stąd od razu znajdujemy funkcję pierwotną
1
1
1
cos 10
3 l+tg10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
skanuj0430 W analogiczny sposób oblicza się edometryczny moduł ściśliwości wtórnej i odprężenia. •
192 X. Zastosowania rachunku całkowego Z ostatnią całką spotkaliśmy się już w ustąpię 343,12); jest
194 X. Zastosowania rachunku całkowego Rozważania te odnoszą się w pełni do wszystkich trzech
202 X. Zastosowania rachunku całkowego Często zdarza się jednak, iż bardziej celowe jest założenie,
204 X. Zastosowania rachunku całkowego żonych przyjmuje się zazwyczaj, że ciśnienie rozkłada się na
Image1028 Kres górny całkowitego oporu cieplnego oblicza się zakładając ustalony, jednokierunkowy
skanowanie0063 2 11 138 Elektromagnetyzm (Er-E,*e f) eV ZŁ kT e kT (34.10)31 W analogiczny sposób ot
Istnieją podstawowe ograniczenia zastosowania rachunku kosztów pełnych które wiążą się z: •
W analogiczny sposób wyznacza się momenty dla pozostałych trapezów. Potrzebną powierzclmię zbrojenia
115(1) § 10. Zadania mieszane na obliczanie całek W poprzednich paragrafach podawaliśmy w jaki sposó
Rachunkowość zaradcza w istotny sposób różni się od rachunkowości finansowej, gdyż: informacje są
Matematyka 2 3 172 111. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 3. g>6V2it. c) 20ti , d)
10002 MII WSTł-P W analogiczny sposób kształtuje się powieściowy dziejów Rzeckiego. Zapowiedź jego
30227 P1010226 36 Paweł Dyki 5. W analogiczny sposób daje się odczyrać para równań nad żeńskim polem
450 VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii Należy się zastrzec, że wszystko co
470 VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii Jeżeli się połączy (rys. 119 na str. 454)
79 § 5. Całki eliptyczne Niższa część rachunku całkowego, do której musimy się tymczasem ograniczyć,
114 IX. Całka oznaczona W analogiczny sposób sprawdza się pozostałe wzory. 3) Znaleźć całki n/2
więcej podobnych podstron