115(1)

§ 10. Zadania mieszane na obliczanie całek

W poprzednich paragrafach podawaliśmy w jaki sposób oblicza się daną całkę. Obecnie należy samodzielnie dobrać sposób obliczenia każdej z poniższych całek :

561.	f dx	562.	1 xcos^2xdx
	y’xfy-a+]/x
563.' |	r x^3dx	564.	f 3e^2x-\-2e^x
	j/^+r		1 g2X.j_g.x_ 2
565. |	r dz	566! 1	• (x^4 + 1) ć/.X
	' 3sin^2z+cos^2z		x^3—x^2 — •
567. 1	^1	568. 1	' x^2 4 | H x
J	1 l+x	J	i H--v
569. 1	arc cosxdx	570*. |	- <fr
			i rj i+T ^
571. 1	r	572. |	’ X^4 ć/.V
J	sin^4r		1 (i-JC^2)^3

573.

f — izŁ_

J J x²+10x I (1—ln x)²dx

575.

577,

dx

579.    | arc tg | v dv

581.    |

12x²+21x+14 ,

—--—— dx

583

585*

• /

|/3x²+3x+4 x³dx

574. f (x²+x+l)e^xdx 576/ f^S'^m2x 578.

580. I

⁵⁸²• f

dx

cos^Jx x²dx

J r'(4^+Jy

2x—3    .

®+3? *

• tod+iO*

2+j4-x²

- f—$=

J X — ) x²— 1

587*.

arc tg x

rZv

584*.

586.

588*.

X²

dx

J 4+3 tg x x arc sin x efce dx

(x+l) ]/l-x^:

CAŁKA OZNACZONA

§ 1. Całka oznaczona jako granica sum całkowych, jej własności i związek

z całką nieoznaczoną

Rozpatrzmy pewien przedział domknięty [a, b] i pewną funkcję f(x) określoną i ciągłą w tym przedziale, a następnie:

1)    podzielmy przedział [o, b] w dowolny sposób na n części o długości

Ax_uAx₂, Ax₃,...,Ax„,

2)    w każdym z powstałych przedziałów częściowych obierzmy po jednym punkcie £_l9 £₂, £₃, ..., £„,

3)    obliczmy wartości funkcji f(y) w obranych punktach,

4)    utwórzmy sumę

n

f(£\)Ax_l^Jrf(£-i)Ax₂.Ą-f(£^)Ax₃-^sr ... ^Jrf(£„)Ax_n — ^f(£_i)Ax_l

i-1

Otrzymane wyrażenie nazywamy sumą całkową funkcji f(x) w przedziale

la, b].---

Dzieląc przedział [a, b] na n części na różne sposoby i obierając w różny sposób punkty £_s, można dla każdej danej funkcji f(x) i dla każdego przedziału [a, ó], w którym funkcja jest ciągła — utworzyć nieograniczenie wiele sum całkowych. Okazuje się przy tym, że wszystkie te sumy całkowe, gdy u rośnie nieograniczenie i gdy maksymalna długość przedziałów częś-ciowych dla danego podziału dąży do zera — zdążają do wspólnej granicy. Tę wspólną granicę wszystkich sum całkowych funkcji f(x) w przedziale [a, b] nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w granicach od a do b i oz-

b

naczamy symbolem J f(x)dx.

a    m

Podstawowa własności całek oznaczonych:

23"*