0144

146

X. Zastosowania rachunku całkowego

lub

T    T

(4)    AB = s — J yV²+/^J dt = / l/0'(0]^J + [v’'(0]² dt.

to    to

Długość zmiennego luku AM, o którym mówiliśmy wyżej, wyraża się oczywiście wzorem

r

(5)    — AM = s — s(t) = J ]/x'² + y'² dt.

fo

Zdarza się, że jako punkt początkowy, od którego liczymy długość łuku, bierze się jakikolwiek punkt wewnętrzny M₀. Jeśli t₀ określa —jak poprzednio — właśnie ten punkt (w tym przypadku t₀ nie jest już końcem przedziału, w którym zmienia się f), to wzór (5) daje oczywiście długość łuku ze znakiem, mianowicie ze znakiem +, jeśli t > t₀, tzn. jeśli punkt Mleży po dodatniej stronie od punktu M₀, i ze znakiem —, jeśli t < t₀, tzn. punkt M leży po ujemnej stronie od punktu M₀.

Jeśli krzywa dana jest równaniem

y = f(x) (x₀ < ,v ^ X)

w prostokątnym układzie współrzędnych, to przyjmując x za parametr otrzymamy jako szczególny przypadek wzoru (4) wzór

X    X

(4a)    S = / l/T+J^dx = f |/1 + [f'(x)]²dx.

Xo    Xo

Wreszcie przypadek, kiedy krzywa dana jest równaniem

r = 9(6)    (6₀^e^ 9)

we współrzędnych biegunowych, sprowadza się, jak wiadomo, do przedstawienia parametrycznego za pomocą zwykłych wzorów

x = r cos 6 = 9(6) cos 6, y = r sin 6 = g(6) sin 0;

rolę parametru odgrywa tu 6. W tym przypadku mamy

O    0

(4b)    S = f yfr^TJdd = J Ąg (d)-]² + [g’(6)Y d6.

B    8

Łatwo też podać w obu tych szczególnych przypadkach wyrażenia na długość łuku zmiennego -'AM, gdzie M odpowiada odciętej x lub współrzędnej kątowej 0:

X

(5a)    AM = s = s (x) = | /1 + y’² dx

Xo

i odpowiednio

8 _

(5b)    w AM = s — s (6) = jV^r2 + ^re d6 .

9o