0152

154

X. Zastosowania rachunku całkowego

Przyjmując w przypadku granicznym (‘) 6 — -i-* i <p = -j-K, znajdujemy długość ćwiartki lemnis-katy w postaci całki eliptycznej zupełnej

s-af ■ ^df----

o j/l-i-sin ²<p

Długość całej lemniskaty jest równa S = 4aK (1/j/2 ).

Zauważmy, że zadanie obliczenia długości łuku krzywej bardzo często prowadzi do całek eliptycznych.

11) Na zakończenie podamy przykład zastosowania wzoru na długość łuku do skonstruowania ewolwenty krzywej [256].

Rozpatrzmy krzywą łańcuchową. Oznaczmy przez {, tj współrzędne bieżące [podobnie jak w ustępie 256], a przez o długość łuku tej krzywej liczoną od wierzchołka. Równanie krzywej łańcuchowej ma więc postać

£

i) = a cosh —, a

a długość łuku wyraża się wzorem [patrz 1)]

a = a sinh — .

a

Można stąd wyrazić f i iy bezpośrednio jako funkcje zmiennej a:

£ — a [In (<r+ \/o² + a²) — ln a],    Tj = ]/o² + a² .

Uwzględniając, że

O    @    'O

cos p =    ~    sin fi - —-----,

ya² + a²    (/o² + a²

możemy na mocy wzorów (17) z ustępu 256 napisać równanie parametryczne dowolnej ewolwenty w postaci

x = a [ln(rr+ f/o²-t-a²) — In al-Hc—a)    ^a —. y = ]/a² + a² + (c — a)— ^a - .

ya² + a²    ]/o² + a²

Zwróćmy uwagę na tę ewolwentę, która odpowiada wartości c = 0. Wychodzi ona z wierzchołka

(') Ostatni przypadek musimy traktować jako graniczny, przy przejściu w otrzymanym wzorze s do granicy, gdy 0-+ -i- 7r, czyli gdy    gdyż dla 6 = -i- n mamy r_e = oo, a więc wzoru (5b) nie

możemy zastosować bezpośrednio.