0196

198

X. Zastosowania rachunku całkowego

Podobnie jak w przypadku krzywej, znając momenty statyczne rozpatrywanej figury względem osi współrzędnych łatwo możemy wyznaczyć współrzędne f i t) środka ciężkości figury. Jeśli przez P oznaczymy pole (a więc i masę) figury, to z podstawowej własności środka ciężkości mamv

	\P\t = M,=; fxydx, |P] t] = Mx = —
skąd	a
(8)	t = J*=±Cxydx, t) = Ms.= -L P P J ^1 P 2P

Ze wzoru na rzędną t) środka ciężkości otrzymujemy w tym przypadku ważny wniosek geometryczny. Rzeczywiście, ze wzoru tego mamy

b

2nt] |/>| =*Ttfy²dx.

Prawa strona ostatniej równości wyraża objętość V bryły, powstającej przez obrót figury płaskiej AA'B'B dokoła osi x [342, (16)] natomiast lewa strona jest iloczynem pola |P| tej figury przez 2jtt), tzn. przez długość okręgu zakreślonego przy tym przez środek ciężkości figury. Możemy teraz wysłowić tzw. drugie twierdzenie Guldina:

Objętość bryły powstającej przez obrót figury płaskiej dokoła nieprzecinającej jej osi jest równa polu tej figury pomnożonemu przez długość okręgu, jaki zakreśla przy tym środek ciężkości figury:

I V\ = |P| 2irtj .

Zauważmy, że wzory (7), (8) można uogólnić na przypadek figury ograniczonej krzywymi z góry i z dołu (rys. 19). W tym przypadku mamy na przykład:

b    b

(7a)    M_x = -j f (yi-yi) dx, M, = f x (y₂-yi) dx ;

u    a

stąd widać również, jak należy przekształcić wzory (8). Pamiętając o wzorze (8) z ustępu 338, łatwo stwierdzić, że twierdzenie Guldina jest słuszne także w tym przypadku.

352. Przykłady. 1) Znaleźć momenty statyczne M_t i współrzędne środka ciężkości figury ograniczonej parabolą y² = 2px, osią x i odcinkiem pionowym o odciętej x.

Ponieważ y = ^2px, więc w myśl wzorów (7) jest

M_x = y -2p f xdx = jpx*, M, = /2p jX³¹²    f/2p x³'².

O    O

Z drugiej strony, pole rozpatrywanej figury [338, (7)] wynosi

|P| = y^2p j x^ll2dx = 1]/2P^³'² •

0

W takim razie w myśl wzorów (8) mamy

£ = 7*. v ⁼

Znając już liczby i i t\, łatwo znajdujemy na podstawie twierdzenia Guldina objętości brył powstających przez obrót rozpatrywanej figury dokoła osi współrzędnych lub dokoła dowolnej prostej pionowej. Jeśli na przykład zatrzymamy się na ostatnim przypadku, to ponieważ odległość środka ciężkości od osi obrotu wynosi -j- x, więc szukana objętość jest równa

I y\ = 7j- ttx²y .