0148

ISO

X. Zastosowania rachunku całkowego

Dlatego jeśli będziemy liczyli łuk od wierzchołka A krzywej, to w myśl wzoru (Sa) otrzymujemy

X

s *= ^ AM «= f cosh — dx = a sinh —.

•    a    a

o

Przypominamy, że tg « — y'_x = sinh — , a także s = atg «. Wobec tego w trójkącie MPS (rys. 9)

długość odcinka stycznej MS “ a tg ot jest taka sama jak długość luku s. Otrzymaliśmy więc graficzny prosty sposób znajdowania długości krzywej łańcuchowej.

2) Parabola: y —    .

2 P

Przyjmując jako początek liczenia długości łuku wierzchołek O (x — 0), mamy dla dowolnego punktu M o odciętej x

3)    Asteroida: x = a cos³/, y = a sin³/.

Wykorzystując obliczone już wcześniej [224, 4)1 pochodne x\ y\ otrzymujemy j/x'*+y'¹ — 3a sin / cos /    (jeśli 0 < /    .

W myśl wzoru (4) długość ćwiartki asteroidy od punktu A (a, 0) do punktu B (0, a) jest równa

nu    _{B 2}

•~>AB = 3a f sin / cos t dt — — a sin²/| ¹² = — a ,

J    2    >o 2

o

a więc długość całej krzywej wynosi 6a.

4)    Cykloida: x = a (/—sin /), y = a(\ —cos /).

Dla 0</<2jt mamy

]/ x',¹+y,¹ — a /(l-cos /)²+sin²/ = 2a sin y1 ; ze wzoru (4) obliczamy długość jednej gałęzi cykloidy

JIT

2a f sin— /<//=—4u cos-i-f| =8 a.

i ^{2    2} 1°

5)    Ewolwenta kola: x =* a (t sin /+cos /), y «■ a (sin /—/cos /).

Mamy tu (dla />0)

Vx?+y? - a /(/ cos/)² + (/ sin/)² — a/,