0180

182

X. Zastosowania rachunku całkowego

Widać stąd, że półosie tej elipsy są równe odpowiednio

*1/^ ■

a pole wyraża się wzorem [patrz 339,2), 8), 15)]

PM-«^l-£)-■=£-(<»*-**).

Ze wzoru (15) otrzymujemy zatem szukaną objętość

W\

m

=    f (a²—X¹) dx = 4 ⁿ°bc.

a² J    ’

10) Znaleźć objętość elipsoidy o równaniu

Ax²+By² + Cz²+2Fyz+2Gzx+2Hxy = 1 ,

której środek leży w początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie. Jeśli ustalimy z, to równanie odpowiedniego przekroju (lub dokładniej — jego rzutu na płaszczyznę xy) ma postać

ax²+2bxy+cy²+2dx+2ey+f = 0,

gdzie wprowadzone zostały oznaczenia

a — A, b — H, c — B, d — Gz, e = Fz /= Cz²— 1.

W myśl przykładu 7) z ustępu 339 pole tego przekroju wynosi

J»(z) =

icA*

(AB-H²)*'² ’

gdzie A* oznacza wyznacznik

A H Gz H B Fz Gz Fz Cz²-1

Az²—(AB—U²),

gdzie

A =

A H G H B F G F C

Po odpowiednim podstawieniu wzór na pole ma postać

|P(z)l = -

_TT_

(AB-H²)²'²

(Az²—(AB—H²)\.

Oczywiście z zmienia się tylko w przedziale od tych granicach otrzymujemy ostatecznie

V-

AB-H¹

do +

V-

AB-H²

; całkując w