0188

190

X. Zastosowania rachunku całkowego

Znaleźć pole |P| części ABC tej powierzchni walcowej. Rozwiązanie. Ze wzoru (26) mamy

|P| = f z l/l + y'² dx = I x ]/a^Ajr4b²x² dx ----- —^<—— [(a² + 46²)³'’² —a²]. J    er J    12o²

o    o

2) Jeśli krzywa AB jest ćwiartką koła y — ]/a¹ — x² (0 < x < a), to nie możemy bez zastrzeżeń stosować wzoru (26), gdyż dla x = a pochodna y'_x dąży do oo. Posłużymy się parametrycznymi równaniami koła

x = a cos /, y = a sin t (0 < / < n/2), i wtedy z ogólnego wzoru (25) otrzymujemy

nil _ n/2

|P| = f z ^x'²-\-y‘² dt = ac j cos t dt = ac. o    o

Jeśli zastosujemy ten sposób do odcinka walcowego, o którym była mowa w ustępie 343, 8), to pole jego powierzchni bocznej okaże się równe lah. Dostajemy to z otrzymanego przed chwilą wyniku dla c = h.

3) Na koniec rozwiążemy to samo zadanie przy założeniu, że krzywa AB jest ćwiartką elipsy

x = a cos t, y = b sin t (0 < t < n/2).

Zwykłym równaniem elipsy nie należy się tu posługiwać z tych samych powodów, co i wyżej.

a) Niech będzie najpierw a>b. Pamiętając, że mimośród elipsy jest równy e — —-, ze wzoru

a

(25) otrzymujemy

JT/2    a

\P\ = c j cos 11/a² sin²/+6² cos²/dt — — | ^b² + e²u² du o    o

(podstawienie u = a sin /) i ostatecznie

|P| =4-«c(l+    — ln4^±^} -

2    [    2    1 — e J

i/ b* — o³-

b) w przypadku a<b mimośród jest równy s = ——_z-, więc

o

|jP| = bc f i/l — e² sin²/ cos t dt —    (l/l — e² + — arc sin e]

{    2 l^r    s    \

4) Rozpatrzymy część powierzchni walca x²+y² = Rx, ograniczoną przez kulę x^2jry²+z² = R². Przekrój tych dwu powierzchni — znaną nam już krzywą Vivianiego [229, 1)] — możemy przedstawić równaniami parametrycznymi

x = R sin² /, y = R sin / cos /, z = R cos / .

Jeśli ograniczymy się do tej części powierzchni, która leży w pierwszym oktancie, to wtedy / zmienia się od 0 do w/2. Pierwsze dwa z naszych równań odgrywają rolę równań (6), a ostatnie—rolę równania (24).