0146

148

X. Zastosowania rachunku całkowego

że długość p* łamanej odpowiadającej temu podziałowi spełniać będzie nierówność (Ił)    p* > S—s/2 .

Ponieważ funkcje y(0 i y(t) są jednostajnie ciągłe, istnieje tak mała liczba 5 > 0, że

\<f{t")-<p{t')\    \V (»")-v(»')l < gjjp,

jeśli tyłk o|/" — /'| < 6. Rozbijmy teraz przedział </₀, 7) na części w dowolny sposób punktami (7), byleby był spełniony warunek /. < <5 (tzn. żeby wszystkie At, były mniejsze od S), a następnie utwórzmy odpowiednią sumę p.

Rozpatrzymy jeszcze trzeci sposób podziału przedziału </₀, 7> na części, w którym punktami dzielącymi są zarówno wszystkie punkty t, podziału (7), jak i wszystkie punkty t* podziału (10); temu podziałowi niech odpowiada suma p₀. Ponieważ podział ten otrzymujemy z podziału (10) przez dodanie nowych punktów dzielących, więc z tego, co powiedzieliśmy na początku, wynika, że

02)    Po>P*-

Z drugiej strony, trzeci podział otrzymujemy z podziału (7) przez dodanie punktów t*. Dodanie każdego punktu t* powoduje zwiększenie sumy p, jednakże o mniej niż podwojona suma odpowiednich oscylacji funkcji <p(t) i y(f), tj. o mniej niż e/2m. Ponieważ postępowanie to powtarza się mniej niż m razy, więc p₀ jest większe od p o mniej niż -y-e

(13)    po < P+ 4"^e •

Z nierówności (13), (12) i (11) wynika, że

p > S—e,

a więc 0 < S—p < e. Stąd wynika już twierdzenie (6*), a zatem również i (6).

Ponieważ na odwrót z (6) wynika (2), więc równość (6) można rozpatrywać jako nową definicję długości krzywej, równoważną z poprzednią.

Uwaga. Jak nietrudno zauważyć, w przypadku krzywej zamkniętej nie można stosować tej definicji bez zastrzeżeń: wszak nawet jeśli spełniony jest podany warunek, to łamana może ściągać się do punktu, a jej długość dążyć do 0 (rys. 8). Rzecz w tym, że w przypadku

krzywej niezamkniętęj już samo dążenie do zera długości wszystkich odcinków łamanej (p) zabezpiecza coraz ciaśniejsze przyleganie tych odcinków do Odpowiednich łuków częściowych; dlatego też przyjęcie granicy sumy p za długość krzywej jest poprawne. Dla krzywych zamkniętych jest już inaczej.

Zauważmy jeszcze, że jeśli zastąpić w tej definicji warunek zmierzania do 0 długości wszystkich odcinków łamanej przez zmierzanie do 0 średnic odpowiednich łuków, to taka definicja byłaby w równej mierze poprawna dla krzywych nie zamkniętych, jak i dla zamkniętych.