0156

158

X. Zastosowania rachunku całkowego

a więc ds = aa da.. Przyjmując a jako parametr, otrzymujemy dalej

dx = cos a ds = aa cos a da, dy = sin a ds = aa sin a da ,

skąd

x = a (cos « + « sin «), y — a (sin a—a cos a).

Okazuje się, że rozpatrywana krzywa jest ewolwentą kota [225, 8)].

2) To samo dla równania naturalnego R²+s* = 16a*. Jest tu

— =    ¹    -,    « = arc sin , s = 4a sin a, tfa = 4o cosa da .

rf*    j/ 16o²—i²    Aa

Wtedy

dx •= cos a dr = 4a cos¹ a </<x, dy = sin a ds = Aa sin a cos a da . a stąd całkując otrzymujemy

x = 2o (ot+ -i-sin 2*) ^{= a} (2«+sin 2«), y = —a cos 2« — «—a (1 +cos 2a).

Jeśli przejdziemy do parametru t = 2ot—Jt, to równania otrzymanej krzywej przyjmą postać x — 7t«+a(r—sinr),    y — «—a (1 — cos /)

i teraz poznajemy już, że jest to cykbida [225, 6)], tylko przesunięta i odwrócona w stosunku do zwykłego jej położenia.

3) Rozwiązać to samo zadanie dla równania naturalnego R => ms.

Mamy tu oczywiście

— = —,    * = —, s = e”*, ds = me”*da ,

ds ms    m

dx = cos «• me"*dx, dy = sin a-me”*da

i wreszcie

x — —2L_ (_m cos «+sin «) e"* , 1+m¹

y = ——- (m sin «—cos a) e"* . 1+m¹

Przejdźmy do współrzędnych biegunowych. Przede wszystkim mamy

r-)/x*+T^r= ^m

y 1+m¹

Następnie wprowadzamy stały kąt co za pomocą równości tg <o = 1/m, wobec tego jest