0184

186

X. Zastosowania rachunku całkowego

która istnieje dzięki ciągłości funkcji y = 'Pis), więc suma <r dąży do tej całki, gdy max As, -* 0.

Ostatecznie widzimy, że przy przyjętych założeniach pole powierzchni obrotowej istnieje i wyraża się wzorem

s    s

(20)    \P\ = 2njyds = 2nJP(s)ds.

o    o

Jeśli nasza krzywa dana jest ogólnym równaniem parametrycznym (6), to dokonując w poprzedniej całce odpowiedniego podstawienia [patrz 313, (9)], sprowadzamy ją do postaci

(21)

\P\ = 2*

J

yVx',²+y',² dt = 2«

to

f v0)ł^[?^,,(0]² + [v’'(0]^a dt.

to

W szczególności, jeśli krzywa przedstawiona jest równaniem y =f(x) (a < x < b), to przyjmując za parametr zmienną * otrzymujemy

(22)

\P\ . 2* j yVl+y²dx

a

= 2n

//Ml⁷!+ [/'(*)? dx .

a

345. Przykłady. 1) Znaleźć pole powierzchni pasa między dwoma równoleżnikami kuli. Przypuśćmy, że półkole o środku w początku układu współrzędnych i o promieniu r obraca się dokoła osi x. Z równania koła mamy y — |/r²—x²; a dalej

,    }/\- ^Jry'x =•

' V1+y²

yx = -

|/r^a—}

|/r²—x*

W tym przypadku pole powierzchni pasa opisanego przez łuk, którego końce mają odcięte Xi i Xi>xi, jest w myśl wzoru (22) równe

*2

|P| = 2itr J rdx = 2nr (x₂—Xi) = 2nrh ,

gdzie h oznacza wysokość pasa. Zatem pole powierzchni pasa kuli jest równe iloczynowi obwodu dużego koła przez wysokość pasa.

W szczególności biorąc Xi =* —r i x₂ — r, czyli h — 2r, otrzymujemy pole całej powierzchni kuli P = 4rer².

x

2) Znaleźć pole powierzchni powstającej przez obrót łuku linii łańcuchowej y = a cosh—, którego

a

końce mąją odcięte 0 i x, dokoła osi x.

Ponieważ |/l +y'² = cosh , więc ze wzoru (22) mamy

X

|P| — 2n J cosh² o

— dx =

2

a

W\,

gdzie | V\ oznacza objętość odpowiedniej bryły obrotowej [patrz 343,3)].

3) Rozwiązać analogiczne zadanie dla asteroidy x — a cos³/, y — a sin³/.

Wystarczy w tym celu podwoić pole powierzchni opisywanej przez łuk asteroidy leżący w pierwszej ćwiartce (0 < / < ji/2). Wiemy już, że

j/jc'² Ą-y ² = 3o sin / cos /.