0168

170

X. Zastosowania rachunku całkowego

Zatem w kole odcinki PM i OP przedstawiają sinus i cosinus kołowy podwojonego pola wycinka kołowego AOM, a dla hiperboli analogiczne odcinki dąją sinus i cosinus hiperboliczny podwojonego pola wycinka hiperbolicznego AOM. Rola funkcji hiperbolicznych w stosunku do hiperboli jest w pełni analogiczna do roli zwykłych funkcji trygonometrycznych w stosunku do kola. Z podaną interpretacją argumentu funkcji hiperbolicznych, jako pewnego pola, wiążą się również oznaczenia funkcji odwrotnych do nich [patrz 49, 3) i 4)]

Ar sinh x, Ar cosh x itd.

Litery Ar są początkowymi literami łacińskiego słowa „Area”, oznaczającego pole. 4) Znaleźć pole figury ograniczonej osiami współrzędnych i parabolą

1!x+}fy=}fa (o > 0).

a    J

Odpowiedź: |.P| = \y dx = -i-c¹. Wykonanie rysunku pozostawiamy czytelnikowi.

o

5) Wyznaczyć pole figury zawartej między dwiema parabolami: y² = 2px i x² = 2py (rys. 24). Należy oczywiście posłużyć się wzorem (8) podstawiając

Rys. 24

Aby ustalić przedział całkowania rozwiążemy odpowiedni układ równań i znajdziemy w ten sposób punkt M przecięcia się obu parabol, różny od początku układu. Odcięta tego punktu jest równa 2p. Mamy więc

6) Znaleźć pole elipsy o równaniu

(10) Ax²+2Bxy+Cy² = 1    (AC-B¹ >0, C> 0) .

Rozwiązanie. Z równania elipsy mamy

C

-Bx+Vb²x²-C(Ax²-1)

c

=

yi =

przy tym y₁ i y₂ przyjmują wartości rzeczywiste tylko dla takich wartości argumentu x, które spełniają nierówność

C-(AC-B²)x² < 0,

tzn. dla wartości z przedziału <—a, a>, gdzie a = Wobec tego szukane pole jest równe

a

= —i/ac-b² c ^y