0174

176

X. Zastosowania rachunku całkowego

Niech M* oznacza dowolny punkt powierzchni, określony przez wartości parametrów u — u* i v — v*. Ponieważ z założenia punkt ten nie jest osobliwy, można więc znaleźć [patrz 228] (') takie jego otoczenie

a* = (u* - «*, u*+6*; v* - 8*, v*+8*),

żeby odpowiednia część powierzchni dała się przedstawić równaniem nieuwikłanym. Wystarczy teraz zastosować lemat Borela [175] do obszaru domkniętego Q i do pokrywającego go układu otoczeń Z = {«r*}, a okaże się, że możliwy jest rozkład danej powierzchni gładkiej na skończoną liczbę części, z których każdą można już przedstawić równaniem nieuwikłanym jednego z trzech typów. W myśl poprzedniego wynika stąd, że powierzchnia gładka ma objętość równą 0.

Teraz jest już oczywiste, że:

Bryła ograniczona jedną lub kilkoma powierzchniami gładkimi ma na pewno objętość.

Wynik ten jest słuszny również dla brył ograniczonych powierzchniami mającymi skończoną liczbę punktów osobliwych, gdyż punkty te można oddzielić otoczeniami o dowolnie małej objętości.

342. Wyrażenie objętości za pomocą całki. Zacznijmy od prawie oczywistej uwagi: objętość walca prostego o wysokości H, którego podstawą jest płaska figura mierzalna P, istnieje i jest równa iloczynowi pola podstawy przez wysokość: | V\ = |P| H.

Rozpatrzymy [336, 1)] wielokąty A„ i B_n, odpowiednio, zawarte w obszarze P i zawierające ten obszar, których pola |/4„| i \B„\ dążą do |P|. Jeśli te wielokąty przyjąć za podstawy graniastosłupów prostych o wysokości H, to objętości tych graniastoslupów

\X.\ = \A_n\H i |y_B| = \B_m\ H

dążą do wspólnej granicy \V\ = |P| H, która na mocy twierdzenia 1) z ustępu 340 jest równa objętości naszego walca.

Rozpatrzymy teraz pewną bryłę V, leżącą między płaszczyznami x = a i x = b; będziemy ją rozcinali płaszczyznami prostopadłymi do osi x (rys. 26). Załóżmy, że wszystkie te

przekroje są mierzalne i oznaczmy przez |P(x)| pole przekroju odpowiadającego odciętej x. Załóżmy wreszcie, że funkcja | P (jc)| jest ciągła w przedziale <a, b}.

O Jeśli punkt («*, o*) leży na brzegu L obszaru Q, to należy uwzględnić to, co powiedzieliśmy w ustępie 262.