0158

160

X. Zastosowania rachunku całkowego

(c) Jeśli równanie naturalne krzywej ma postać R²+k²s² — c², to ewoluta powstaje z tej krzywej przez ś-krotne powiększenie jej wymiarów liniowych.

Rzeczywiście, mamy

a — R = \/c²—k²s² , ks =* j/c^J—o^J ,

₌ k²s    _ k t/c²-a²

ds    }/c²—k²s^2    a

i wreszcie

p - —w-    = —Ar /r¹-®¹ , czyli p²+k²a² = (kc)² .

fS

Stąd wynika jui wypowiedziane twierdzenie.

Otrzymany wynik daje się zastosować do cykloidy [porównaj 254,4)], do epicykloidy i hipocyktoidy, a w szczególności do kardioidy i asteroidy [porównaj 254, 3)].

Uwaga. Podana metoda we wszystkich przypadkach pozwala określić tylko kształt ewoluty, nie rozstrzygając, jakie jest jej położenie.

334. Długość luku krzywej przestrzennej. Długość luku krzywej przestrzennej

x = <p(t), y = y> (t), z = x( 0

można zdefiniować tak samo, jak i dla krzywej płaskiej [249, uwaga]. Także w tym przypadku na długość luku otrzymuje się wzór

s = w AB = jVx',²+y,²+z'_t² dt ,

to

analogiczny do (4). Na ten przypadek przenosi się prawie bez zmian wszystko, co powiedzieliśmy o krzywej płaskiej. Dlatego nie zatrzymujemy się nad tym dłużej i podajemy od razu przykłady.

Przykłady

1)    Linia śrubowa-. x = a cos f, y — a sin f, z = cl.

Ponieważ mamy tu

]/^x?+y'^2+zt² ~    ,

więc długość łuku krzywej, łączącego punkt A(/»0)z punktem M(J — dowolne) wyraża się wzorem

s *■ ^ AM = J" ^a²+c² dt = f/«²+c² t. o

Wynik ten jest oczywisty, jeśli przypomnimy sobie, że przy rozwinięciu powierzchni walca linia śrubowa leżąca na niej przechodzi w prostą nachyloną do tworzącej.

2)    Krzywa Vivianiego: x = R sin*/, y = R sin / cos t, z — R cos t.

\/x’²+y'¹+z’¹ = R ^l+sin^łf .

Wobec tego długość całej krzywej wyraża się całką eliptyczną zupełną drugiego rodzaju

«/2    _ »/2    _ nu i-;-- —    / 1    \

S=4Rf j/l+sin²/ dt — 4/f j |/l+cos²/ dt = 4 j/2/t f V¹ —7*'" ¹ dt “ ⁴ ]/2 RE Ił.

n    A    a    ' "