Ebook4

158 tał 5. Rachunek całkowy

Ponieważ V_xCr x + \Jx² 4- 1 > 0, więc

I\ — h + ln (x + yjx² + 1).    (5.15)

Całkę /i można też obliczyć, stosując metodę całkowania przez części. Mamy

■R

x\J x² + 1 — f

x² + 1 dx

/1

f(x) = \/ x² + 1 g'(x) = 1

f'(^X) - ^_g2 ₊ 1    = Z

x²dx

\Jx² + 1

Stąd

(5.16)

/i = rr\/ x² + 1 — 72.

Po dodaniu równań (5.15) i (5.16) stronami mamy

I\ = - (xy/x² + 1 + ln (x + v^TT)) + C.

Po odjęciu równań (5.15) i (5.16) stronami otrzymujemy

72 = i [xyjx² + 1 — ln (x + \/z² + 1)) + C.

Zatem

/

J \Jx² + 1 dx = ^ ^:c\/:e² + 1 + ln (x + \J x² + 1)^ + C, _ i ^2 + 1 _ ln (x + y/x² + 1)) + C.

Vx² + 1    2 \    /

5.5 Całkowanie różniczek dwumiennych

Definicja 5.4. Różniczką dwumienną nazywamy wyrażenie postaci

x^m(a + bxⁿ)^pdx,

gdzie a, 6, ra,n,p są stałymi, a ponadto liczby m,n i p są liczbami wymiernymi.

Dowodzi się, że różniczki dwumienne można scałkować efektywnie tylko w trzech przypadkach, które niżej omawiamy.

1)    p jest liczbą całkowitą.

Oznaczmy przez A najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników ułam ków m i n. Stosujemy podstawienie t — \/x i wtedy całka / / ^m(a I b.i ")^pd » sprowadza się do całki z funkcji wymiernej.

2)    (m + l)/n jest liczbą całkowitą.

Podstawiamy t = \/a + bxⁿ, gdzie r jest mianownikiem ułamka /> < mil i J* x^m(a + bxⁿ)^pdx zostaje wtedy sprowadzona do całki z funk< ji wy.....im i

3)    [(m + l)/n] + p jest liczbą całkowitą.

Wtedy podstawiamy t = \/ax~ⁿ + 6, gdzie r jest mianownikiem ułamka p.

PRZYKŁAD 16. Obliczyć całki:

^a) f

xdx

_b) j isp?<ix.

ROZWIĄZANIE, a) Ponieważ

więc mamy m = 1, n = |, p = — 5. Ponadto = \ = 3. Na podstawie

3

przypadku 2) stosujemy podstawienie

t = \J 1 4-

Stąd x = (i² - 1)2 oraz dx = 3t\Jt² — 1 dt. Zatem

/

xdx \/l +

3

3

3

5

J (t² - 1)5 t~^lt (t² - 1) * dt = 3 J (t² - l)² dt =

J (ć⁴ - 21² + l)dt= 11⁵ - 2£³ + 3* + C =

y(1 + v^)⁵ - 2^(1 + ^)³ ₊ 3V^d-C.