Ebook 0

170

Rozdńał 5. Rachunek całkowy

f) f \/800~^~20x^x²dx₁

h)    !

i)    f x³\/l + x²dx,

j)    f -y^X

^J lv/l+x²’

^k)    / n+lp^.

l)    f ^ dx,

^m)    / \/l + \/xdx,

n)    / x⁵-y(l + x³)²dx.

5.8 Odpowiedzi do zadań

Zad.l. a) 4x + 24-^5; -f 9 ln |x| + C, b) y^g(5x³ — 3)⁸ + C, c) x + 4v/x 4- ln |x| + C, d) §x^(31nx — 2) + C, e) f_v^lnx-^v^/^ + C, f) ^ \/(4x 4-1)³ 4- |\/4x -f 1 4- C, g)    + l)⁵-^ \/(^2:c + l)³-f \/2x + 1 +c, h) -xctgx+ln |sinx|+C,

i) e^2x(^sin5x - ^cos5x) + C, j) Ve^2x + 1 + \ ln^Łj +C, k) -x² cosx + 2xsin x + 2 cos x + C, 1) ^e^x(cosx - x cos x + x sin x) + C, n) arctg e^x + C,

”) ^ln^r4 + ^c>

o)    2\/e^x — 1 — 2arctg \Je^x — 1 + C,

p) ~5 ^ln ^r^rrTT ⁺ eX^^e~^x + ¹ + ^

r)    (arctg x)² — xarctgx -f^ln(l4-x²) + C,

s)    x arctg \/2x — 1 — \ \J2x — 1 + C.

Zad.2. a) f xⁿe^xdx = xⁿe^x - nf xⁿ~¹e^xdx dla n ^ 1,

^b)    / {F+4J* = §S5| f (_x*+i)^n=T + 27^2 (x²+i)"-i ^dla 71 ^ ²-

Zad.3. a) §arctg(x + 1) + |?rf&2 + 4(^+fe+2F + ^C> ^b) + ^C>

^c)    X + ^ ^ln Ifril + ^c> ^d) ² ln |x + 3| — ln |x — 2| — arctgx + C,

e)    |x² — 3x + ln |x — 11 + 8 ln |x + 2| + C,

^f)    ^ln    +    272^arCtg i^^+C' ^g) ? ^ln F^Ij + ^C’

Zad.4. a) — 3+tg|~    b) ^ arctg 4- C, c) g arctg—f h C,

^d) ^{ln +} ^^arctg 7I + ^e)”5^ln

tgf-3

tgf+I

f) — |v/cos³x+fy/cos⁷x-\-C, g) |x-^sin4a:+C, h) | sin §-£ sinzd-C', i) ^tg⁷x + gtg⁵a: + C, j) k) -|x 4- tg a: + | sin2z 4- C,

3 cos-* x 5 cos⁵ x 7 cos^ x

+ C,

O lin

^/ctg⁴x-l-ctgx

^/ctg⁴x-l+ctgx

+ 5arctg

+ c.

^h) I^ln    (²vr)

j) 3 ln \x — 2|4-ln \x 4- 3| —

+ <?> O ^lnlf+ll ^- A ^+C>

k) | ln |x⁴4-10x³4-35:r²+50x+24|4-C\

Z ad.5. a) ^ 4- 2^2x - 3 + ln \2x - 2| - 2arctg y/2x - 3 4- C, b) 6^x — 3%/x 4- 2>fx — 61n (1 4- \fx) 4- C, c) aresin pp 4- C,

d)    \ ln \2x 4- | 4- \/4x² 4- x| 4- C,

^e)    x 4- 1 — g ln \2x — 1 4- 2\Jx² — x + 1| 4- C,

f)    4- 5)\/800 — 20:r — z² 4- 450 aresin (ggz 4- \) 4- C,

g)    21n \Vx² - x 4- 1 +x|-§ln|2v/x² - x 4- 1+ 2x - ¹l~|₂Vx^ił-x+142x^1⁺ C, h)s/TTx¹\n{x + y/TTx¹)-x+C, i) i(l4-x²)(3x²-2)yi+x⁵4-C, j) 5 ^ln ($^7^) + CV k) arctg y/x - y^§ 4- C,

l) ±ln|s|-Jln(*² + l) + ^-4^+C,

m)    (1 4- tfc)¹³ - f y(1 + ^5):¹⁰ 4- f y(1 4- fó)⁷ - 3 ty(1 4- fój* + C_t

n)    ^(l4x³)⁸-iy(l4x³)⁵4C.