Ebook6

162

Ro d (oi ¹ Rachunek całkowy

Jeżeli n jest nieparzyste, n ^ 3, to całkę f sinⁿ xdx można także obliczyć przez podstawienie cos x = t, zaś całkę f cosⁿ xdx przez podstawienie sin x ■ t. Jeżeli n jest parzyste, to można stosować wzory (5.22) lub (5.23).

Dla dowolnego n ^ 2 całkę / tg ⁿxdx można obliczyć przez podstawienie tg x = t, zaś całkę f ctg ⁿxdx przez podstawienie ctgrr = t. Podstawienia te sprowadzają te całki do całek z funkcji wymiernych.

PRZYKŁAD 17. Obliczyć całki:

a)    f sin¹ xdx,

b)    f cos² xdx,

c)    f tg ²xdx,

d)    J(cos 4x cos 6a: -f sin8xsin4x)dx.

ROZWIĄZANIE.

a) Ponieważ n jest nieparzyste, więc można zastosować podstawienie cos x i t. Mamy

J sin^J xdx = J sinrrsin^Ą xdx = j sinx(l — cos² x)²dx

cos x = t sin xdx ~ dt 2

= - /(I - 21² + t²)dt = -t+    -\t¹ + C =

J    3    5

= — cos X + - cos³ x--cos¹ X + C.

3    5

b) Przy obliczaniu tej całki zastosujemy wzór (5.23). Otrzymujemy

+ cos 2x

dx =

J cos² xdx = J(cos² x)²dx = J

1 r    11    i r

= - / (1 + 2 cos 2x + cos² 2x)dx = -x + - sin 2x + - I cos² 2xdx = 4 J    '44    4 J

U*

+ cos 4x) dx =

1    1 .

= -x +    - sin 2x +

4    4

^{1    1}    • o    ^1    1 • .

= -x + — sin 2x +    -x    +    — sin 4x + C    =

4    4    8    32

5.6. Całkowanie wyrażeń zawierających junKcje trygonometryczne

IIM

c) Przy obliczaniu tej całki zastosujemy podstawienie tgx = t. Mamy

/

tg^Ąxdx

tg x = t x = arctg t dx =

dt

t²+1

= J W+l^{dt +} / ⁼    l)dt + arctg‘

= i*³ - t + arctgt + C = -t,g³x - t,gx + arctg (tg*) 1 f'

0    u

¹    3

= -tg³* - tg x + x + C.

ó

d) Wykorzystując kolejno wzory (5.18) i (5.17), otrzymujemy

J(cos 4* cos 6* + sin 8* sin 4x)dx =

= ^ J(cos (—2*) + cos 10* + cos 4* — cos 12x)dx = = ^ J (cos 2x + cos 10* •+- cos 4x — cos12*) dx.

Po zastosowaniu wzoru (5.7) mamy

/

(cos 4x cos 6* + sin 8* sin 4x)dx =

= ^ sin 2x + -y- sin 10* -f ^ sin 4x — — sin 12* + C.

TC    ZU    O

Niech R(u,v) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych u i v. Przy obliczaniu całek typu f R(sinx, cos x)dx stosujemy podstawienie tg | = t, tzn. podstawienie uniwersalne. Stąd mamy

X

- = arctg t

x = 2arctgt

,    2 dt

dx = -~.

1 + t²

1

8    4    32

2

= -x +    - sin 2x +    — sin 4x + C.

3

   1.    1