Ebook4

138

Rozd ml 5. Rachunek całkowi/

PRZYKŁAD 3. Stosując odpowiednie podstawienia, obliczyć całki:

a)    f (3x + 2)⁷dx,

b)    f xe^x2dx₎

f (1+tg^l) COS'* X ’

d)    / _x/3arcctgx -

f sin³ xdx

^e)    J cos⁵⁰x '

f)    f x^x(l + ln x)dx.

ROZWIĄZANIE.

a)

t Rxdx

J (3x + 2 )⁷dx

b)

/

xe^x dx

3x + 2 3 dx dx

t

dt

3 dt

2xe^x dx = xe^x dx =

⁼§/^t7dt=£^+c=ż^(3x+2)8+'''

t

dt

2 dt

1 f ,    1    1 _2

⁼ 2]^d2^+C=2^{e +}°'

c)

/

tg xdx

(1 4- tg⁴x) cos² x

tg²x = t l^dx = dt

cos^Ł X

^ dx = \dt

\!

dt

1 +t²

= ^arctgż + C = iarctg (tg²x) + C,

d)

x

dx

1 + x⁴

3arcctgx —2    = t‘

T+?^{dx 1} ?dx

1+X

= 2 tdt = —%tdt

= —^ f t²dt = -?t³ + C = -^\/(3arcctgx - 2)³ + C,

OJ    J    J

«)

sin³ xdx

COS¹⁰ X

J

J

sin² xs\nxdx cos¹⁰ x

(1 — cos² x) sinxdx cos¹⁰ x

^2

COS X = t

— sin xdx = dt sin xdx = —dt

-9    4.-1

-/=-/^(r'° -^r8)dt=V ■ V^+c=

1

1

9 cos⁹ x 7 cos⁷ x

+ C.

f) Przy obliczaniu całki f x^x(l + lnx)dx zastosujemy podstawienie x^x = t. Ponieważ (x^x)' = (e^xlnx)' = e^xlni(lnx + 1) = x^x(lna: + 1), więc marny

I x^x(l + hi x)dx

x^x = t

x^x(\nx + l)dx = dt

= j_dt =

t + C = x^x + C.

PRZYKŁAD 4. Obliczyć całki: a) f sin y/xdx, l>) f x³e~^x2dx,

c) f ^l-f^dx,

(1) J sinlnxdx.

ROZWIĄZANIE.

a) Przy obliczaniu całki f sin y/xdx zastosujemy najpierw odpowiednie podstawienie, a potem metodę całkowania przez części. Mamy

/

sin \/xdx

= ²/

t sin tdt

yfx = t

X = t²

dx =    2    tdt

f(t) = t    g'(t) = sin£

f'{t) = 1 g(t) = — cos t

= —21 cos t + 2 J cos tdt = —21 cos t + 2 sin t -f C = = —2v/x cos Jx + 2 sin \fx + C.