78217

IX. Rachunek całkowy

Przykład 2. Funkcją pierwotną funkcji f(x) = x > 0 na przedziale /j = (0,+oo) jest funkcja Fi(x) = lnx, gdyż dla x € (0, -Foo)

Rozważmy funkcję /•jfa) = ln(— x), x < 0. Ponieważ dla x € (—oo,0)

1

x’

więc funkcją pierwotną funkcji / na przedziale I2 = (—00,0) jest funkcja F2(x) = ln(— x) = ln|x|. Oba te fakty zapisuje się t radycyjnie jednym wzorem całkowym (choć nieprecyzyjnie, gdyż w różnych przedziałach mogą występować różne stałe całkowania C)

dx = In |x| + C.

Całki nieoznaczone niektórych funkcji

f0dx = C	f tg xdx = — ln | cosx| + C
f ldx = x + C	f ctg xdx = I111 sinx| + C
f xdx — ^x^2 + C	/S77 = -^Ct*^1 + C
= ln|x| + C	J = tgx + C
	= 8|+^C
f ^= 2y/x+C
fx°dx = ^jX^Q+1 + C\ a ^ -1	f Va + x^2dx = | y/a + x^ + § I11 |x -F y/x* + a| + C
f e^xdx = e^x + C	J Va - x^2dx = 5 — x^2 4- 5 aresin ^ + C
/ a^xdx = • a^x + C, a > 0. a £ 1	/ 7^5 = ln |x + v^a + x^2| 4- C
f sin xdx = — cosx -F C	f TT? = ^arcsi" ^ ^+ C
f cos xdx = sinx + C	f lnxdx = x 1 nx-x + C

Przy całkowaniu wielu funkcji korzystamy z następujących twierdzeń

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcje f i g posiadają funkcje pierwotne, to funkcje f + g i f - g oraz A- /. gdzie A € R. posiadają funkcje pierwotne i

f (/(*) + 9{x))dx = J f(x)dx + Jg{x)dx, J (/(*) " g(x))dx = j f{x)dx - Jg(x)dx, j A f{x)dx = A J f(x)dx.

Przykład 3.

J(x² — 1 )²dx — J(x^Ą — 2x² + 1 )dx — j x^xdx — 2 J x²dx + J 1 dx — £x⁵ — $x³ + x + C.

70