82299

Przykład 6.5 Funkcja f(x,y) = { ^xl+u‘ ^^x'^!^ ^    nie j_est ciągła w punkcie

{ O (ar, I/) = (0,0)

(0.0) (przykład 6.2), a jej pochodne cząstkowe istnieją:

M- lim°^ = 0

x—O X

lim-= O

V-0 y

|/_(0ł0) = UmMzZM dp    v—o    y

6.5 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Definicja 6.15 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych)

Niech funkcja f : A —* H, A C V? ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu (x(). po) • Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (xą,yo) określamy wzorami:

S¹*"”' - (Ł (£)) <*•*> -    (Ł (s)) ^l“^,"^>

0<--> * (ś (£)) <»■•> • (I (59)

Uwaga 6.10 Pochodne drugiego rzędu i i£jir_x nazywamy pochodnymi mieszanymi. Analogicznie określamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji n zmiennych.

Definicja 6.16 Niech funkcja f : A —* V,. A C Hⁿ ma pochodne cząstkowe w pewnym otoczeniu punktu Po € int/1. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w

wzorami:

punkcie Pq — (x\, j?2,.... określamy

o²f

Dxk 0x\

^(łw*GŁ (£))<*>

Twierdzenie 6.3 (Schwarza o pochodnych mieszany cli)

Jeżeli pochodne cząstkowe . &y£_x są ciągle w punkcie (aro, po), ^{to S}Q równe, tj.

&f , x &S , V ₀ ~ (aro, po) = » _n (aro, po) c/x op    dp dr

Uwaga 6.11 Prawdziwe są także analogiczne równości dla pochodnych mieszanych drogiego rzędu funkcji n zmiennych, gdzie n > 2.

Przykład 6.6 Znaleźć pochodne drugiego rzędu i sprawdzić równość dla odpowiednich pochodnych mieszanych.

a) /(ar, y) = et b) f(x, p, z) = In (x²y + zp³)

39