img067

67

nie Jest ciągłe w punkcie x « 1 oraz nie Istnieje teki punkt cc(O.l), w który*

gt°> .,-(c)

Przykład ten wskazuje, że założenie ciągłości funkcji f w przedziale domkniętym <a,b> Jeet konieczne dla tezy twierdzenia Lagran-ge'a.

Uwaga. Punkt c należęcy do przedziału otwartego (a,b), gdzie a i b sę liczbami, aożemy zawsze zapisać w postaci a + © h, gdzie h « b - a, © zaś je&t pewnę liczbę z przedziału (0,1). Olatego też teza twierdzenia Lagrange^#e zapisywana Jest często w postaci

f(x*h) - f(x) * H f'(x*©h) gdzie © e (0,1) .

O o w 6 d twierdzenia 6.1. Zauważmy, że

f(a+h) - f(a) - f(a₁*h₁,...,a_n+h_n) - f(■₁»«₂^^h2** * *^,an^+hn^

♦ f(a_1#*₂+h₂.

.♦^hń> “ f(a₁,a₂,a₃₊h₃₁

’V^hn> ⁴

n-i *n n

®«*^hJ " f(*V^a2.....aj

Oo każdej różnicy występujęcej po prawej stronie ostatniej równości stosujemy twierdzenie Legrange'*. Wówczas

(a.

f(a*h) - f(a) -    |y- wł

i-1    ¹

^ai-l'^al^4ei^hi'^ai*l^4hi*1.....^an^4hn>

gdzie ©<©^<1 dla i * l,#..,n. Przyrost f(a*h) - f(o) przedstawmy teraz w postaci

f(

e(h)

Ale z cięgłości funkcji - (k » 1.....n) w punkcie a wynika, że

A V A li -    . •₁lh₁Ki»||i- (i) -    («)i<e

£>0    5>0 h.cR    ⁿ J 3 \ox_k    dx_k I

Przyjmujęc więc £ • Jhl₀, otrzywujsay