23382

Przykład

Ciąg podziałów odcinka [0,1] na n równych podprzedziałów ( n = 2,3,...) jest normalny.

ponieważ lim 6_n = lim —= 0.

n —*0    n —»0 N

Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] ciąg sum całkowych {(T_n )„_eN jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnie od wyboru punktów 5* , to granicę tę nazywamy całką oznaczoną (całką Riemanna) funkcji f w przedziale [a,b] i oznaczamy:

b

J f(x)dx,

a

b

czyli    J f{x)dx := lim cr_;1.

b

Funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna    : <=» 3 j f (x)dx,

Uwaga

Ograniczoność funkcji jest warunkiem koniecznym całkowałności tej funkcji w sensie Riemanna. Jednakże ograniczoność nie jest warunkiem wystarczającym całkowalności funkcji.

Przykład

Funkcja Dirichleta D(x) =    | ^ 'eRNO    jest ograniczona w [a,b].

Tworzymy ciąg normalny podziałów (<A_n )„_cn odcinka [a.b|.

I.    V_ł 3ę*€[x_ł._Iłx_ł]:ę_ł6 Q => />«*) = !

n

\ • A x_k = b—a => lim a_n = b—a

*-1 "-*⁰

II.    V_t 3Z_ke[x_k__ltx_k):Z_ke O =>D(5/)=0

n

a_n= £ O • 4x₄=0 => lim <r_il = 0

A-l    "-⁰

b

Z I i II wynika, że fukneja Dirichleta nie jest całkowalna . -3 J D(x)dx .