3582320724

3582320724



8. CAŁKI OZNACZONE 8.1 DEFINICJE I OZNACZENIA

Def. 8.1.1 (podział odcinka)

Podziałem odcinka [a,b] na n części nazywamy zbiór

P ={x0,xlt..., x„] ,

gdzie a = Xo< Xj< ... <x„ = b.

Oznaczenia stosowane w definicji całki

Axy = Xk - Xki - długość ir-tego odcinka podziału P, 1 <, kś. n;

5(P) = max{Ax*: 1 ś kś n } - średnica podziału P; xk e [xk, x,_ ], punkt pośredni łc-tega odcinka podziału P, lś kś n.

Def. 8.1.2 (suma całkowa)

Niech funkcja fbędzie ograniczona na przedziale [ąb] oraz niech P będzie podziałem tego przedziału Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P odcinka [a, b] oraz punktom pośrednim x'k , 1 ś k ś n tego podziału nazywamy liczbę

def n

^(/r>P)=E/rtó Axfc.

t=i

Na rys. 8.1.1 podano interpretację geometryczną sumy całkowej dla podziału odcinka [a,b] na n = 4 części. Suma całkowa jest przybliżeniem pola obszaru ograniczanego wykresem funkcji y = fl[x), osią Ox i prostymi x = ą x = b przez sumę pól prostokątów o podstawach Axt i wysokościach f (x*) , 1 ś kś n.

Rys. 8.1.1

Ilustracja sumy całkowej funkcji


Def 8.1.3 (całka oznaczana Riemanna)

Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a,b]. Całkę oznaczaną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem

h    def    n

J f(x)dx = Jimo£f(xi:)Ax,( ,

o    h=l

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziałów P przedziału [a,b] ani od sposobów wyboru punktów pośrednich xki 1 g n. Ponadto przyjmujemy

"    def    a    der hr

J    f(x)dx =0    oraz    J f(x)dx =—J    f(x)dx dlaa<b.

a    ba

Funkcję, dla której istnieje całka oznaczana Riemanna na [a.b] nazywamy funkcją całkowalną na [a,b]. Zamiast symbolu

b    p    b    p

f f (x)dx możnapisać J f^x^^x lubkrótko f f alboteż J f .

J    * [a.fc]    J    [a.fa]

Uwaga. Każda funkcja całkowalna jest ograniczaną ale nie każda funkcja ograniczona na przedziale jest na tym przedziale całkowalna Przykładem takiej funkcji jest funkcja Dirichleta (def. 0.12.3) rozważana na przedziale [0,1].

8.2 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ

1. Połę trapezu krzywoliniowego

Niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczany wykresem funkcji nieujemnej f, osią Ox oraz prostymi x = a, x = b. Pale |D| trapezu krzywoliniowego jest granicą sumy pól prostokątów AD* apraksymujących ten trapez, gdy średnica podziału S(P) —>0 (rys. 8.2.1).


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
85 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej występujące w obu poprzednich podziałach. Tem
1. Błędy obliczeń numerycznych 11 całki oznaczonej jako granicy sum przybliżających ją podziałów
DSC00080 grupa W SEMESTR 2. EGZAMIN (28.06.2010) falę
Zestaw 12 i 1. Wykorzystując definicję całki oznaczonej obliczyć J sin xdx. Wsk. Skorzystać ze wzoru
79296 skanuj0043 (15) 21. Definicja całki podwójnej
11. Całka oznaczona Riemanna 11.1. Definicja całki oznaczonej. f:[a,b]eR^R Rozbijamy przedział [a,b]
DSC07135 (6) Całki oznaczonePrzykładyPodstawowe twierdzenia • Przykład 8.1 Korzystając z definicji o
1926978`4132016330968w326792 n - Grupowanie wariancyjne oznacza: Of podział zbiorowości statystyczne
1927038`41318629976503949458 n z Grupowanie wariancyjne oznacza: al podział zbiorowości statystyczn
Podstawy geografii politycznej Upadek ZSRR zakończył podział świata na dwa bieguny Oznaczało lo
306 t. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJfiż)dz Slira^ ACdM przy czym d. oznacza średnicę podziału przedzia
Oto definicja całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale [a, 6], Dla każdej z liczb n = 2,3,... czyn
Uwaga. Definicja całki oznaczonej ma sens także, gdy a > 6. Wtedy przyjmujemy, że a = To > x &
S5001595 Od reperu Nr Od reperu Nr Kierunek\„pSło ■j. Data d9,QhJ Oznaczenie reperów Podziałka I wst

więcej podobnych podstron