Def. 8.1.1 (podział odcinka)
Podziałem odcinka [a,b] na n części nazywamy zbiór
gdzie a = Xo< Xj< ... <x„ = b.
Oznaczenia stosowane w definicji całki
Axy = Xk - Xki - długość ir-tego odcinka podziału P, 1 <, kś. n;
5(P) = max{Ax*: 1 ś kś n } - średnica podziału P; xk e [xk, x,_ ], punkt pośredni łc-tega odcinka podziału P, lś kś n.
Def. 8.1.2 (suma całkowa)
Niech funkcja fbędzie ograniczona na przedziale [ąb] oraz niech P będzie podziałem tego przedziału Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P odcinka [a, b] oraz punktom pośrednim x'k , 1 ś k ś n tego podziału nazywamy liczbę
def n
^(/r>P)=E/rtó Axfc.
t=i
Na rys. 8.1.1 podano interpretację geometryczną sumy całkowej dla podziału odcinka [a,b] na n = 4 części. Suma całkowa jest przybliżeniem pola obszaru ograniczanego wykresem funkcji y = fl[x), osią Ox i prostymi x = ą x = b przez sumę pól prostokątów o podstawach Axt i wysokościach f (x*) , 1 ś kś n.
Rys. 8.1.1
Ilustracja sumy całkowej funkcji
Def 8.1.3 (całka oznaczana Riemanna)
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a,b]. Całkę oznaczaną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem
h def n
o h=l
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziałów P przedziału [a,b] ani od sposobów wyboru punktów pośrednich xki 1 g kś n. Ponadto przyjmujemy
" def a der hr
a ba
Funkcję, dla której istnieje całka oznaczana Riemanna na [a.b] nazywamy funkcją całkowalną na [a,b]. Zamiast symbolu
b p b p
f f (x)dx możnapisać J f^x^^x lubkrótko f f alboteż J f .
J * [a.fc] J [a.fa]
Uwaga. Każda funkcja całkowalna jest ograniczaną ale nie każda funkcja ograniczona na przedziale jest na tym przedziale całkowalna Przykładem takiej funkcji jest funkcja Dirichleta (def. 0.12.3) rozważana na przedziale [0,1].
8.2 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ
1. Połę trapezu krzywoliniowego
Niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczany wykresem funkcji nieujemnej f, osią Ox oraz prostymi x = a, x = b. Pale |D| trapezu krzywoliniowego jest granicą sumy pól prostokątów AD* apraksymujących ten trapez, gdy średnica podziału S(P) —>0 (rys. 8.2.1).