3582320724

8. CAŁKI OZNACZONE 8.1 DEFINICJE I OZNACZENIA

Def. 8.1.1 (podział odcinka)

Podziałem odcinka [a,b] na n części nazywamy zbiór

P ={x₀,x_lt..., x„] ,

gdzie a = Xo< Xj< ... <x„ = b.

Oznaczenia stosowane w definicji całki

Axy = Xk - Xki - długość ir-tego odcinka podziału P, 1 <, kś. n;

5(P) = max{Ax*: 1 ś kś n } - średnica podziału P; x_k e [x_k, x,_ ], punkt pośredni łc-tega odcinka podziału P, lś kś n.

Def. 8.1.2 (suma całkowa)

Niech funkcja fbędzie ograniczona na przedziale [ąb] oraz niech P będzie podziałem tego przedziału Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P odcinka [a, b] oraz punktom pośrednim x'_k , 1 ś k ś n tego podziału nazywamy liczbę

def n

^(/^r>P)=E/^rtó Ax_fc.

t=i

Na rys. 8.1.1 podano interpretację geometryczną sumy całkowej dla podziału odcinka [a,b] na n = 4 części. Suma całkowa jest przybliżeniem pola obszaru ograniczanego wykresem funkcji y = fl[x), osią Ox i prostymi x = ą x = b przez sumę pól prostokątów o podstawach Ax_t i wysokościach f (x*) , 1 ś kś n.

Rys. 8.1.1

Ilustracja sumy całkowej funkcji

Def 8.1.3 (całka oznaczana Riemanna)

Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a,b]. Całkę oznaczaną Riemanna z funkcji f na przedziale [a,b] definiujemy wzorem

^h    def    n

J f(x)dx = Jim_o£f(xi:)Ax,₍ ,

o    h=l

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziałów P przedziału [a,b] ani od sposobów wyboru punktów pośrednich x_ki 1 g kś n. Ponadto przyjmujemy

"    def    ^a    der ^hr

J    f(x)dx =0    oraz    J f(x)dx =—J    f(x)dx dlaa<b.

a    ba

Funkcję, dla której istnieje całka oznaczana Riemanna na [a.b] nazywamy funkcją całkowalną na [a,b]. Zamiast symbolu

b    p    b    p

f f (x)dx możnapisać J f^^x^^^x lubkrótko f f alboteż J f .

J    * [a.fc]    J    [a.fa]

Uwaga. Każda funkcja całkowalna jest ograniczaną ale nie każda funkcja ograniczona na przedziale jest na tym przedziale całkowalna Przykładem takiej funkcji jest funkcja Dirichleta (def. 0.12.3) rozważana na przedziale [0,1].

8.2 INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ

1. Połę trapezu krzywoliniowego

Niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczany wykresem funkcji nieujemnej f, osią Ox oraz prostymi x = a, x = b. Pale |D| trapezu krzywoliniowego jest granicą sumy pól prostokątów AD* apraksymujących ten trapez, gdy średnica podziału S(P) —>0 (rys. 8.2.1).