004

Uwaga. Definicja całki oznaczonej ma sens także, gdy a > 6. Wtedy przyjmujemy, że

a = To > x\ > .,. > x_n = h, oraz że Ai,    , A_n sy ujemne.

WŁASNOŚĆ 5* Załóżmy, że /imftcja /(^) jesi caJfcowaJna w przedziale [a, 6]. Zachodzi

a    b

wzór J f(x) dx — — f f(x) dx.

h    a

WŁASNOŚĆ 6, Załóżmy, źe funkcja f(x) jest całkowalna w pewnym przedziale zawie-

c    b    fi

rającym liczby a₎ £>, c. Wtedy f f{x) dx — / f(x) dx + / f(x) dx.

a    a    h

Uwaga. Może tu być a < b < c lub a < c <h lub c < a <b.

TWIERDZENIE 2. Funkcja cięgła w przedziale domkniętym jest całkowalna. Zachodzi to nawet gdy ciągłość jest naruszona w skoriczonej ilości punktów.

Oto wzór na całkowanie przez podstawienie w calce oznaczonej (por. wzór w ramce z Rozdziału VIII, Część B).

TWIERDZENIE 3* Załóżmy_f że funkcja f(t) jest cięgla w [a^b] oraz że funkcja t = g(x) przyjmuje wartości z przedziału [a, 6] dla x £ [a, ,3], gdzie a = g(cx) oraz b — g{0)<

8    b

Załóżmy też, że g^f{x) jest ciągła w    Zachodzi wzór f f(g{x))g^ł(x)dx = / f(t)dt

o.    a

PRZYKŁAD 5. Obliczyć f t?* dx.

1

Met oda I. Najpierw obliczamy całkę nieoznaczony metody podstawiania z Rozdziału VIII. f (F^I: dx z* -t = f e^l ldt= + C = ^e^r,x -f C. Teraz obliczamy całkę oznaczony:

2

f cF^r dx

dx = (1/5) dl

³₌I_c¹⁰-4*⁶.

i

O

15

Metoda 2. Stosujemy wzór na obliczanie całki oznaczonej przez podstawienie podany w

'ti,

Twierdzeniu 3 (por. Przykład 3 podany w Rozdziale VIII): f e^5x dx

\

5:r = r, dx = dtfo

A' = 1 t =5 x=2 => t =10

10 10

/' f?‘Ł di =    = |e^A[) - iłe^r\ Zwróćmy uwagę, że zmieniły się granice całkowania,

. t    k>    o _c    •)    ')    ^    *

TWIERDZENIE 4 (zwane twierdzeniem o wartości średniej). Dla dowolnej funkcji

b

ciągłej f(x) w przedziale [a,6] istnieje taka liczba h G (u.b), że j f(x)dx = (b-a)f(h),

(1

ZADANIE. Obliczyć pole między podanymi krzywymi a osią Ox (zastosować wzór na całkowanie przez podstawienie, zob. Twierdzenie 3 oraz Metodę 2 z Przykładu 5): a) y -e~^2x dla 0 < ,7i < 1, b) y = cos | dla 0 < x < 3tt, c) y — y2 — x dla I < x < 2, d) y = fy'3x + 2 dla < x < 2, o) y =    dla. -5 < x < 0, f) y = \/8sina: + 1 cosi

dla 0 < x <

.ODPOWIEDŹ. a) |(1 - c’²), b) 6. c) §, d)    e) f, f) f.

88