60593

Zestaw 12 i

1. Wykorzystując definicję całki oznaczonej obliczyć J sin xdx.

Wsk. Skorzystać ze wzoru: sinx + sin 2x + ... + sin nx =

sin rr

2. Korzystając z całki oznaczonej stosownej funkcji obliczyć granicę

lim f—!—+—+ +

n—oo yn+1 n + 2    2«/

3. Wykazać, że jeżeli / jest funkcją ciągłą w przedziale (0,1). to

ł    ł

J f (sinx)dx = J /( cos x) dr.

4. Obliczyć (Kila figur ograniczonych krzywymi o równaniach: a) y² = 2px, r² = 2py (p > 0). c) x (f) = cos⁵Z. y(t) = sin⁵/. 0 < / < 2n.

b) x² + y² = 16. x² = 6y (y> ^r²) d) r(0) = a(l + cos<», a > 0. <fr€(0.27r)

W zadaniu c) wykorzystać wzór: J (sin x)^ik dz =    • -j (A>€N).

5.    Obliczyć objętości brył powstałych przez obrót dookoła osi Ox krzywych o równaniach:

^a) /(*) = (x² - 3x + 2)    . 3 < x < 4,    b) / (x) = arcsinx, x € {0,1)

6.    Obliczyć długości łuków krzywych o równaniach:

a)    x (<) = a • cos³Z, y(y) = a • sin³ Z, t € (0,2;r), a > 0.

b)    y = Vx — x² + aresin y/x, 0 < X < 1.

7.    Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi Ox krzywej o równaniu: x² + (y — 6)² = a² (0 < a < b).

1

8. Zbadać czy istnieje pole figury ograniczonej krzywymi o równaniach: y —

x²(x + l)

. y = 0. X = 1 (X > 1).

9. Określić znak całki

■ !—•■

0

całek jest \

J e~^x*dx,

10. Która z podanych całek jest większa: i    i

a) J

e *dx czy o    o

11. Zbadać zbieżność (ew. obliczyć jeśli to możliwe) całki:

2

a)

J X³ + r

1

fr +	2 n
b) / e~^x cos^2 x di czy J	j^e~^X
0	w
	ł
1) ^ dx.	^il)I
	0

isinxf/x.

12. Czy można obliczyć całkę f-3— stosując podstawienie: tgx = Z ?

J 1 + sin x o