22835 Odpowiedzi i wskazówki Zad 0 165

150.    Wskazówka: skorzystaj ze wzoru: sinX'cosy —

1

•= — [sin («+?/)+sin (x—y)].

151.    Rozwiązanie:

(a+/5+y == 180° i -= 2cosy) => sina =

si n/?

= 2 sin/? cos [180° — (a+/>)] =► sina = — 2sin/>cos(a-j-/?) => sina+2sin/3*cos(a+/?) = 0 =>

=> sin a + 2 sin/9 cos a cos/l—2 sin a sin^{1 2}/? = 0 =>

=> sina(l — 2sin²/?) -(-cosasin2/? = 0 => sina-cos2/?-}-cos a sin 2/? = 0 => sin (a+2/S) = 0 => a+2/5 = 180°.

Mamy więc: a+2/5 = 180°

i afi-\-y = 180°,

stąd po odjęciu stronami obu równań otrzymujemy:

(i—y — 0, zaś stąd: (i — y, co kończy dowód.

152. Wskazówka: przedstaw licznik i mianownik w postaci iloczynu, zaś y jako 180°—(a-|-/?). Otrzymasz równanie trygonometryczne o zmiennych a i /?.

154, Wskazówka: zastosuj twierdzenie sinusów.

155. Rozwiązanie:

sin²a+sin²/?—cos (a—/?)-cosy — cos²y = — i a + /?-f- y = 180°

sin²a+sin²j3 — cos(a—/?) •cos[180°— (ot-{-/5)]—cos²y = — <»•

1

si^a+sin^+cos(a — /?) -cos (a-{-/?) — eos²y = — ,

ale cos (a — /?) •cos(a-f/?) = — [cos2a-|-cos2/?],

Z

1

więcsin²a+sin²/? + cos(a—/?)*cos(a-j-/?) —cos²y = — <t>

¹¹ , ¹

sin²a + sin²/?4-—- cos2a + — cos 2/?—cos²y = — -o-

Z    Z    *

1 1 . _ort „ ¹ sin²a + sin²/3-f — (1 —2sin²a) + — (1 —2sin²/?) — cos²y = - <=>

Z    Z    >

3    3    V? . _t    - V3

— cos²y =--<s> cos²y — — <*• cosy —--lub cosy = ---

^4    '    4    2    2

Po uwzględnieniu założenia: a+p+y = 180° i 0° < a i 0° < fi i 0° < y, otrzymujemy y — 30° lub y — 150°.

Odpowiedź: y — 30° lub y — 150°.

156.    Trójkąt prostokątny lub równoramienny.

Wskazówka: sin²a — sin²/? — sin(a + /3)-sinfa — /?).

157.    y = 45°.

158.    Wskazówka: oblicz wartość wyrażenia tg (a+/9+y).

159.    cos(a-f/9) < cos a+cos/?.

Wskazówka: zbadaj znak różnicy cos (a + /?) — (cos a + cos /?).

160. a) Rozwiązanie: funkcję y = sina + cosa możemy przedstawić w postaci y = V2^cos(a —45°). Oznaczamy: /? = a—45°.

Mamy wówczas funkcję y = V2"cos/?, przy czym jeśli 0° a 180°, to -45° < /? < 135°.

Funkcja y — V2 cos/?, gdzie —45 <: /? ^ 135°, osiąga najmniejszą wartość — 1, a największą V2.

Odpowiedź: najmniejszą wartością funkcji y = sina + cosa i 0° ^ a ^ 180° jest —1, zaś największą V2, b) najmniejszą wartością jest —I, największą V2.

1 — V~2

161. a) najmniejsza wartość-

2

1-V2

, największa , największa

b)    najmniejsza wartość

2

c)    najmniejsza wartość 0, największa 3

1 + V2 2

1 + V2

162. Po wykonaniu przekształceń otrzymujemy wyrażenie: sin²a.

164. a) cos(a-f-/?) = b) cos (a — /?) =

n^s—m²

?n²+n²—2

c) sin(a-f-/?) =

2 \nm\ n- 4- m²

AC Vg{Vs~1)

AB

165.

159

1

   . „ ¹    ,1

sin²a-f sin²/?H---sm²a-}-~—'Sin²/?—cos²y =

2

2 * ■