69471 Odpowiedzi i wskazówki Zad 0 189

nego w trapez, zaś S środkiem okręgu opisanego. Wówczas' AF    tg —

2

i AB — 2rctg;~ .

2

cos-

EB — AB — AE = 2retg——2rctga = 2r 2

cos a

a sm a

cos — sin a — sin — cos a    2r sin ( a

- 2r

2r

sm — sina

2

2r

sm — sma 2

sm a

czyli EB = -.

sina

2rVsin²a+1 sina

Z ADEB mamy: DB

Okrąg o(/S'₅ R) opisany na trapezie ABCD jest również okręgiem opisanym na AADB. Stąd na mocy twierdzenia sinusów:

DB    DB    rVsm²a+l

-=2 R, stąd R — —_;--, więc R — -—-

sina    2 sma    sima

181. m =

2 sin a si n/?sin (a -j- /5)

71

182.    Wskazówka: skorzystaj z twierdzenia sinusów i wykaż, że <$CA =

183.    Wskazówka,: skorzystaj z twierdzenia sinusów.

184.    Wskazówka: skorzystaj z twierdzenia:

Na czworokącie A BOD można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy    +

+ <tC =    == 180°.

185.    Rozwiązanie: Niech R oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie, zaś a, b, c długości boków przeciwległych odpowiednio kątom a, (j, y.

a    b    c

Wówczas: 1) sina =-, sinB =-, siny =-.

2 R    ^P    2 R    ' 2R

Korzystając z 1) i z warunków zadania, otrzymujemy;

o²

Tli²

b² c²

Tb² + Tr²’

stąd zaś

2) o² = 6²-(-c^a.

Równość 2) świadczy, że a jest kątem prostym, co końc-zy dowód.

186.    Wskazówka: jeśli a = 3/9, to y = ISO⁰ — 4/3.

Skorzystaj z twierdzenia sinusów i wyznacz (a — b)²{a-\-b) oraz bc² jako funkcję fl i promienia R okręgu opisanego na trójkącie.

187.    Wskazówka: skorzystaj z twierdzenia sinusów.

189. Rozwiązanie (rys. 7):

Połączmy punkty styczności A , B ze środkami O, 0₁ danych okręgów i poprowadźmy odcinek OfiWAB.

2

Wówczas Ó₁G±OA, 00 = R—r, $:C0_L0 — oraz OO_x = R+r, gdzie

R, r oznaczają promienie okręgów.

a 2

R—r . a ....

Z A0(70_x mamy:    — = sin —, i dalej;

R+r

R

r    a    R    R    . a    . a

-= sin — ,--1 = —sm~—+ sm —,

R    2    r    r 2    2

--h 1

11*

163