88806 Odpowiedzi i wskazówki Zad 8c d 149

mac

sm-—

(m-fi) a sin-

2    (m-j- 1)a

--j- 2 cos----

2

. ffl« . a    (m-fl)a

sin--j- 2sm — cos-

2 ‘ 2 2

a

sin — 2

mac a

(m-f-l)a

	. a sm — 2
sin	(m+ l)a
	2
	. a sm — 2
sin	(m+ l)a
	2
	a 8111- 2
sin	(m-j- l)a
	2
	a sin — 2
sin	(m+ l)a
	2

sin —— -j- 2 sin — cos--1--

»>    ¹    O    l O ¹ fi

. met    a    ma    a    a    ma

sm--—h2sin — cos —— cos--2sin² — sin —

2    2    2    2    2    2

— H-sinacos

ma

. ma    .    ma

sin-—— • cos a 4- sin a cos---

2 2

(m+l)a    (m-|-2)a

)sm-• sm--

2 2

--^-

sm-

Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wynika, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdego k e N, b) dowód podobny do a);

. a a

2sm — cos —

c) Dla n — 1 mamy:

sina    2 2    a

-= -= cos —

_    . a    ^ . a    2

2-sin—    2sm—

2 2

Oznacza to, że twierdzenie jest prawdziwe dla n — 1.

1-50

Założenie (indukcyjne):

aa    a

cos — cos—- ... cos—7- = 2 2^a 2^/£

sm a

’2^fe • sii

a \ 2^/c 2^k

Teza (indukcyjna):

a    a    a    a

cos— *cos —.. .cos —7- • cos —7— 2    2²    2*    2^fc+l

sma

2*+i.

sm

2*+l

Dowód:

Na mocy założenia mamy:

a a a a

1) cos—-cos—...cos —7-• cos —:-

‘ 2 2² 2* 2*+¹

sm a    a

-• cos —7——.

a 2^A'⁺¹

2*-si

2*

a ( a \

Zauważmy, ze —7 = 2 I1 i w takim razie:

2^k+^l

sina -cos

2*+i

sm a

2^/c - sin

2*

²‘-^23m2Rr-°^osim'    ^2t+1'^s“^r

Stąd i z równości 1) wynika teza.

149. Rozwiązanie:

Badamy znak różnicy: sin(a+jS+y) — (sina + sin/5 + siny). W tym celu różnicę przekształcamy na iloczyn, sin {a. + P+y) — (sina + sin(8 +siny) —

■= [sin(a + |3 + y) — sina] — (sin0 + siny) = 2cos( a+—+—j sin—

-2sin[-^-+-^ cosfy-y] = 2sinf-^-+^y

2 ’ 2

“^cos|TT

cos( a+—+— ) —

= 2 sin

P_ y_

2 ⁺ 2

•2 sin

-^4sin (t+t) ^sin (ł+i) ^sin (t+y) •

Jeśli a, fi, y są kątami ostrymi, to

<x    /? . oc    y    y    ,    . . _

--1--1 -—| 1--)--są rówmez kątami ostrymi.

2    2 2    2    2 2

W takim razie otrzymany iloczyn i równa mu różnica są ujemne, co oznacza, że twierdzenie jest prawdziwe.

157