70952 Odpowiedzi i wskazówki Zad 3 148

143. a) 2sin( 45°-f—) cos ( 4o° —

b) 2 cos²—,

2

'+7

„ a 5-1—

' 2

V2 sin. (a + 45°)    ,,    n

e) -——-- dla a # — (2&-f1),

cos a    2

A/2sin(a-45°)    „

f)    -_;- dla a =£ len,

) sin [	— -30°),
/ 1 1 cos
/	[ 2/

g)

h)

sina eos2a

dla a ^ — (2&+1), cos² a    2

1

——— dla a kn.

144. a) 4 sin 2a* cos ( 30°-!- — ) - cos f 30³ — *

b) 4cos2acos^30° + —^ -cos ^30°-

c)    —4 cos a sin²—,

' 2

. . « + £    «    £

d) 4sm-cos — cos —»

2    2    2

e)    2V^/2cos—cos ( 45°--)»

2 \ 2/

f)    2tgacos²— dla a #—(2Ai—j— 1).

2 2

146. Rozwiązanie:

sin 47° +sin 61°-sin 11°-sin 25° == (sin47°-sin 25°) + (sin 61°-sin 11°) =

= 2 cos 36° sin 11°+ 2 cos 36° sin 25° = 2 cos 36° (sin 11° +sin 25°) =

= 4 cos 36° sin 18° cos 7°.

Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że 4cos36°sin 18° = 1. 4 cos 36° sin 18° cos 18°    2 cos 36° sin 36°

4 cos 36° sin 18° =

cos 18°

sin 72°

sin 72°

sin 72°

4cos 36°sin 18° = 1, a więc twierdzenie, które mieliśmy udowodnić, jest prawdziwe.

148. U ozwiązanie:

2a-f- ... -j~sinjfca

a) Mamy dowieść twierdzenie: /\ ( sin a+sin 2

keN \

. fca .    (&+l)oc ₄

siu-sm--\

2 2 \

--— I , gdzie a # 2kn.

sin —    /

2    '

1) Sprawdzamy czy twierdzenie jest prawdziwe dla k = 1.

, a . (l-fl)a

sm--sin-•

2 2

—-= sina, a więc dla k — 1 twierdzenie jest prawdziwe.

sin —

2

moc    (m+l)^a

sin--sin--—

2 2

2) Zakładamy:sina-fsin2a+ ... -j-sin(ma) ---.

. « sin —

2

Musimy dowieść, że:

sina-fsin2a+ ... -j-sin(ma) + sin(m+l)a =»

(m-fl)a    (m-|-2)a

sin-_sin-

2 2

a

sin —

2

Dowód

Na mocy założenia: sina+sin2a-f ... -j-sin(ma)+sin(m-t-l)a =

ma . (m+l)a

sin-• sin-

2 2

a

ma    (m+ł)a

sin-• sin-

2 2

Stąd mamy:--|-sin(m+l)a

. a sin —

2

ma .    (m-)-l)a

sin-• sin-

2    2    (m-j-l)a (m-(-ł)a

--1- 2 sin —-cos--

a    ^    2    2

sin —

2

155