2208634432

11. Całka oznaczona Riemanna

11.1. Definicja całki oznaczonej. f:[a,b]eR^R

Rozbijamy przedział [a,b] w dowolny sposób na części wkładając między a i b pkt. Przedziału:

x: a := x₀ <x_v <x₂ <...< x_iX <x. <... < x_n:= b \AX.\:=x.-x_i__v(i = h-;n)

A(r) := max |ax | -średnica _ podziału

l<i<n

W każdym z odcinków [xn ,Xi] wybieramy dowolny pkt. ^e    i obliczamy fię,)

wtedy <t( /',r,g) =\ ^ /’(£ )ax, ' suma całkowa funkcji f w przedziale [a,b] zależna od x,%

l— 1

=P_rJ!

Mówimy, że suma całkowa c(/, ę) ma skończoną granicę I przy A(r) —> 0 jeżeli

do każdej liczby 1 = lim    £)=V_c>03_s>0: A(r) < 5 =>| cr(/,    -/)<£■ dla wszystkich

wyborów pkt. £    ^A(t)^°.......

n    .

Jeżeli istnieje granica    Hm .E /(£)**, = 1 , to 1= / /(x)Jx

1=1    Ja

Gdy istnieje granica właściwa I, to funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna na odcinku [a,b], wtedy a-granica dolna i b-granica górna.

Warunki przy których funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna:

Rfob] °

f(x) = c = const -> /(£) = c

n

ćr(/,r,£) = y CAX_i = c(b-a)

*= i

Powyższa definicja może być zastosowana tylko dla funkcji ograniczonych. W przypadku gdyby tak nie było, to nie może istnieć granica właściwa I.

WK całkowalności funkcji:

Funkcja f jest całkowalna w [a,b] to f jest ograniczona w [a,b] 15.2. Sumy Darboux. Własności sum Darboux.

f.

f(x)dx =

9=1

A(r) := max |ax_;

0<i<n

r = {x₀,x₁,...,xj _C r’ = {x₀’,x₁x_n’},r<r’

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)