MATEMATYKA126

V. CAŁKA OZNACZONA

1. OKREŚLENIE CAŁKI OZNACZONEJ I JEJ INTERPRETACJE

OKREŚLENIE CAŁKI OZNACZONEJ Niech f będzie funkcją określoną na przedziale domkniętym <a,b>. Punktami a = x₀ < x, <•••< x₀_, <x_n = b podzielmy przedział <a,b> na n przedziałów częściowych <x_M,x_ł> odpowiednio o długościach Ax, = x_l-x_i__l, i = 1,2,..„u. Liczbę S_n = max{Ax,,..._tAx_n} nazywa się średnicą danego podziału.

W każdym przedziale częściowym obierzmy punkt x_(ł cz>ii x_M ^ X, £ x_jt utwórzmy iloczyny f(x,)Ax₍ oraz sumę S_n wszy stkich takich iloczynów

S, = f(x_l)Ax,+-" + f(xJAx„ = £f(x,)Ax,.

Ml

Liczbę S_n nazywa się sumą całkową (Riemanna) funkcji f na przedziale

<a,b>.

Utwórzmy teraz normalny ciąg podziałów przedziału < a,b > na przedziały częściowe, to znaczy' taki ciąg, że 5_n -> 0 przy n -> oc; oznacza to, źe długości wszy stkich przedziałów częściowy ch dążą do zera, gdy ich liczba n dąży' do nieskończoności. Ciągowi temu odpowiada ciąg (S_n) sum całkowych funkcji f. Rozważmy granicę

n

lim S_n= lim ]Tf(Xi)AXj.

n-+oo    n-tao _t

(A-*)    (4r*0)‘

Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału < a,b > i każdego wyboru punktów pośrednich x, w przedziałach częściowych tych podziałów istnieje ta sama skończona granica ciągu (SJ sum całkowych funkcji f, to tę granicę nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale < a, b > i oznaczamy symbolem

»•

Zatem

b

def

n

Liczbę a nazy wa się dolną granicą całkowania, liczbę b - górną granicą całkowania, przedział < a, b >- przedziałem całkowania.

Do tej pory' zakładaliśmy, że a < b. Dodatkowo przyjmujemy, że

, gdy b<a

a

b

oraz

b

Funkcję f. dla której istnieje całka oznaczona J f(x)dx, nazywa się

a

funkcją całkowalną (w sensie Ricmanna) na przedziale <a,b>. Dla takiej

b

funkcji całka oznaczona Jf(x)dx jest granicą dowolnie wybranego ciągu

a

(S_n)sum całkowych S_n, odpowiadającego normalnemu ciągowi podziałów przedziału <a.b>.