6830718834

PODSTAWY ANALIZY materiały pomocnicze do wykładu semestr II 2006/07

1 Całka oznaczona

Niech B((a,b}) oznacza zbiór funkcji ograniczonych na przedziale domkniętym i ograniczonym (a, b).

Będziemy rozpatrywać funkcjo / G B((a,b)).

Definicja 1.1 Podziałem II odcinka, (a, b) nazwiemy zbiór punktów {.iy;}/L₀ takich, że a = .to < ;t'i < Xo < .... < x,_n = b . Średnicą podziału <t(TT) nazywamy liczbę

= max (xi — a?i-i) w

Definicja 1.2 Ciąg podziałów {n(p)}£° , nazywamy normalnym, jeśli

lim a(I3(p).) = 0

Or-fcOG '

Dla danego podziału TT wybieramy zbiór punktów pośrednich.

A* = {£, i = 1,2..., rn, x_t i ^    ^ x,}

Definicja 1.3 (Suma całkowa Riemanna)

Każdemu podziałowi II i związanemu z nim zbiorowi punktów pośrednich X przyporządkowujemy wartość

rn

W. = £/(#$*-« i)

i i

zwaną sumą całkową Riemanna.

Uwaga 1.1 Każdemu ciągowi podziałów (n(p)}|L₁ i ciągouń punktów pośrednich , odpowiada ciąg sum całkowych

{B(/,n(p), x(,,))}“,

Definicja 1.4 (Całka Riemanna)

Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału {a.b) i dowolnego ciągu punktów pośrednich ciąg sum całkowych {/£(/, TT(p), X(p)))^ jest. zbieżny

1