0083
85
§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej
występujące w obu poprzednich podziałach. Temu trzeciemu podziałowi niech odpowiadają sumy Darboux
(III) s3 i S3.
Ponieważ trzeci podział możemy otrzymać z pierwszego przez dodanie nowych punktów dzielących, więc na podstawie udowodnionej już własności sum Darboux (własność 1) mamy
Si < s3 .
Podobnie podział trzeci możemy otrzymać z drugiego, a zatem analogicznie mamy
Ć*3 ^ S3 •
Ponieważ ponadto s3 < S3, więc z otrzymanych nierówności wynika, że
Si ^ S3,
co należało właśnie udowodnić.
Z dowiedzionej własności wynika, że zbiór {j} wszystkich sum dolnych jest ograniczony z góry, na przykład przez dowolną sumę górną S. Wobec tego [11] zbiór ten ma kres górny
/* = sup {s} ,
a ponadto dla dowolnej sumy górnej S zachodzi nierówność
/* <S.
Ponieważ zbiór {5} sum górnych jest wobec tego ograniczony z dołu przez /*, ma on zatem kres dolny
I* = inf {S} ,
który spełnia oczywiście nierówność
/*</*•
Podsumowując wszystko, co powiedzieliśmy, mamy ostatecznie
(5) s < J* < f* < S
dla dowolnej dolnej i dowolnej górnej sumy Darboux.
Liczby /* i I* nazywają się odpowiednio dolną i górną całką Darboux [por. dalej 301].
297. Warunek istnienia całki. Teraz już za pomocą sum Darboux łatwo można sformułować warunek istnienia całki.
Twierdzenie. Na to, żeby istniała całka oznaczona, potrzeba i wystarcza, żeby było
(6) lim(S-s) = 0.
1-0
Do wyjaśnienia, w jakim sensie należy tu rozumieć granicę, wystarczą uwagi sformułowane w ustępie 295. Na przykład w języku e—<5 warunek (6) oznacza, że do każdej liczby
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
ROZDZIAŁ IXCAŁKA OZNACZONA§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej 294. Inne podejkie do
81 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej Przy nieograniczonym zmniejszania się wszystk
83 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej Podstawimy sobie teraz za zadanie znalezienie
87 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej 298. Klasy funkcji całkowalnych. Zastosujemy
89 $ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej ponieważ zaś ostatnia suma dąży do zera (przy
91 § 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej Konieczność tego warunku wynika z
DSC00080 grupa W SEMESTR 2. EGZAMIN (28.06.2010) falę
Zestaw 12 i 1. Wykorzystując definicję całki oznaczonej obliczyć J sin xdx. Wsk. Skorzystać ze wzoru
Uwaga Ograniczoność funkcji f(x,y) jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to warun
11. Całka oznaczona Riemanna 11.1. Definicja całki oznaczonej. f:[a,b]eR^R Rozbijamy przedział [a,b]
MATEMATYKA130 250 V. Całka oznaczona c) Korzystając z zadania b) wykazać, że z istnienia całki J
6 (32) 105 Definicja i istnienie całki Jest to całka Riemanna-Stieltjesa lub po prostu całka Stieltj
6 (34) 107 Definicja i istnienie całki V(P,f,«) < U(P2if, «>“< łfdm+ł* < L^,/,«)+« <
6 (36) 109 Definicja i istnienie całki i > 0, że 8 < e oraz warunek
więcej podobnych podstron