2087

Uwaga

Ograniczoność funkcji f(x,y) jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to warunek wystarczający.

Twierdzenie (o calkowalności funkcji dwóch zmiennych)

Z: f(x,y) - funkcja ograniczona w prostokącie P oraz ciągła poza zbiorem miary 0,

tzn poza zbiorem punktów, któiy można pokiyć skończoną liczbą prostokątów o dowolnie malej sumie pól (mniejszej niż e).

T: / jest całkowalna w prostokącie P.

Wniosek

Z twierdzenia wynika:

1° / - ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem funkcji v=<p(.r), gdzie <peC([«,ń|)

U

f - całkowalna w P

>k

Uzasadnienie:

zbiór {(.t,<p(.v)): x e [u,i]} jest zbiorem miary zero (można go pokiyć skończoną liczbą prostokątów o dowolnie małych polach)

2° / - ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem funkcji x=ą/(y>), gdzie vpgC([c,rf])

U

/- całkowalna w P

^yk

Wniosek

Ftmkcja może nie być ciągła na brzegu prostokąta, a mimo to będzie całkowalna opracował Mateusz Targosz