6 (32)

105

Definicja i istnienie całki

Jest to całka Riemanna-Stieltjesa lub po prostu całka Stieltjesa funkcji / względem funkcjia na przedziale <a, b).

Jeśli całka (7) istnieje, tzn. jeśli (5) i (6) są sobie równe, to mówimy, że funkcja/jest całkowalna względem funkcji a w sensie Riemanna, i będziemy pisać/e^(a).

Podstawiając a(x) = x, stwierdzamy, że całka Riemmana jest szczególnym przypadkiem całki Riemanna— Stieltjesa. Wypada podkreślić, że w przypadku ogólnym funkcja a nie musi nawet być ciągła.

Kilka słów na temait oznaczeń. Z dwu zapisów zapis (7) uważamy za lepszy od zapisu (8), ponieważ występująca w (8) litera x niczego nie wnosi do zawartości zapisu (7). Jest sprawą zupełnie nieistotną, jaką zastosujemy literę dla oznaczenia tak zwanej „zmiennej całkowali

nia”. I tak np. (8) oznacza to samo, co j'/(y)da(y). Całka zależy od/, oc,a i b, lecz nie zależy

a

od zmiennej całkowania, którą z powodzeniem można opuszczać.

Rola zmiennej całkowania jest zupełnie podobna do roli wskaźnika sumowania: dwa

n    n

symbole £ c_{,    £ c* oznaczają dokładnie to samo, a mianowicie sumę c₁+c₂+-+c„

1=1    k=l

Nie stanie się oczywiście nic złego, jeśli napiszemy w sposób widoczny zmienną całkowania, a w pewnych przypadkach jest to wygodne.

Zajmiemy się teraz pytaniem o istnienie całki (7). Nie powtarzając tego za każdym razem, będziemy zawsze zakładać o funkcji/, że jest rzeczywista i ograniczona, a o funkcji a, że jest monotonicznie rosnąca na przedziale b) i, o ile nie zachodzi możliwość nieporozumie-

b

nia, będziemy pisali J zamiast f.

a

6.3.    Definicja. Powiemy, że podział P* jest zagęszczeniem podziału P, jeśli P* = P, (tj. jeśli każdy punkt podziału P jest także punktem podziału P*). Jeżeli dane są podziały Pi i P₂, to podział P* będziemy nazywali ich wspólnym zagęszczeniem, jeżeli P* = P_xuP₂.

6.4.    Twierdzenie. Jeżeli P* jest zagęszczeniem podziału P, to

(9)	L(P,/, a) <!(?*,/«)
oraz
(10)	l/(P*,/,a)< l/(P,/a).

Dowód. Dla dowodu załóżmy na początek, że P* zawiera tylko o jeden punkt więcej niż P. Niech tym dodatkowym punktem będzie x* i niech xj_i < X* < X/, gdzie x_f_i i x_t są dwoma kolejnymi punktami podziału P. Przyjmijmy

w_t * inf/(x) (x,_i < x < x*), w₂ = inf/(x) (x* < x < x_;).

Łatwo zauważyć, że    i w₂ ^ m_h gdzie tak jak poprzednio

wij = inf/(x) (x,_i < x < x₍).