6 (34)

107

Definicja i istnienie całki

V(P,f,«) < U(P₂if, «>“< łfdm+ł* < L^,/,«)+« < 14P,f,Ą+&

Dla tego podziału spełniona więc jest nierówność (13).

; Twierdzenie 6.6 zaopatruje nas w wygodne kryterium całkowalności. Zanim je zastosuje-py, sformułujemy kilka ściśle z nim związanych faktów.

6.7.    TWIERDZENIE, a) Jeżeli (13) zachodzi przy pewnym P i pewnym z, to (13) zachodzi ■ tym samym e) dla dowolnego zagęszczenia P.

I ł>) Jeżeli (13) zachodzi dla P = {x₀, jś jc„} j jeżeli s₍, f_f są dowolnymi punktami odcinka Sc*,-j, *(>V to

: i=i

c) Jeżeli f e #(a) i jest spełnione założenie b), to

l£/fa)^®,-j/da[ <    '

Dowód. Twierdzenie 6.4 implikuje a). Przy założeniach uczynionych w b) zarówno/(s,j jak /(f,) należą do <m₍, M₍), i wobec tego l/(s,j—/(t,)| ^    Zatem

£ l/(ś.)-/(t_i)|da₁ < V(P,f, «)-L(P>/, a),

•' l • 1

co dowodzi b). Oczywiste nierówności

UPJ, «)< 1/(04*, < C/(P,/,<x)

oraz

L(P,/, «)< f/doc < l/(P,/,«)

dowodzą c).

6.8.    TWIERDZENIE. Jeże/i funkcja f jest ciągła na <a, b>, to fe &(u) na (a, b>.

Dowód. Niech będzie dana liczba e >0i niech n > 0 będzie taką liczbą, że [«(&)—«(«)]'*? <

< £. Ponieważ/jest jednostajnie ciągła na <a,h> (twierdzenie 4.19), więc istnieje taka liczba S > 0, że

(16)    l/MnAt)! <

Jeżeli |*-l| < 5 i x e <o, k>, t € <a, k ,    , ^

Jeżeli P jest podziałem <a,b>, dla którego dxj < 6 przy wszystkich i, to z (16) wynika, że

(17)    M_rm_t < n (i = 1, y_Xn) .

I wobec tego

V(P,f,*)~HP,f,oi)= £ (Mi-m,)d«i < »?£ d«, = »?[«(b)-ot(a)] < e,

' i-t    f=i

i na mocy twierdzenia 6.6 fe