0079

81

§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej

Przy nieograniczonym zmniejszania się wszystkich Ax_t błąd w tej równości zmierza do zera. Dokładne pole P otrzymujemy jako granicę

(2)    P — lim ^ y_t Ax_t — lim VV(x_t) Ax,.

przy zwożeniu, że wielkości Ax, dążą do zera jednocześnie.

Ten sam sposób można zastosować do obliczenia pola P (x) figury AMND (rys. 2), ale w tym przypadku należałoby dzielić na części odcinek AM. Zauważymy jeszcze, że przypadek, kiedy funkcja y —f(x) przyjmuje również i ujemne wartości, jest rozstrzygnięty dzięki uwadze zawartej w ustępie 264, że pole części figury znajdującej się pod osią x uważamy za ujemne.

Dla oznaczenia sumy postaci "ZyAx (a dokładniej mówiąc — granicy tej sumy) Leibniz wprowadził symbol fydx, gdzie y dx przypomina typowy składnik sumy, a znak J jest wystylizowaną literą S — pierwszą literą łacińskiego słowa summa (*).

Ponieważ pole, otrzymane jako wartość graniczna, okazuje się jednocześnie funkcją pierwotną funkcji y, więc również dla oznaczenia funkcji pierwotnej zachował się ten sam symbol. W konsekwencji po wprowadzeniu oznaczenia funkcyjnego pisano

J /(*) dx

w przypadku pola zmiennego, i

f f(x) dx

a

w przypadku pola ustalonej figury ABCD, odpowiadającej przebiegowi zmiennej x od a do b.

Posłużyliśmy się intuicyjnym przedstawieniem zadania znajdowania pola po to, żeby w sposób naturalny podejść do rozpatrywania granic sum specjalnych postaci (2) (które, historycznie rzecz biorąc, były wprowadzone właśnie w związku z zadaniem obliczania pola). Jednakże samo pojęcie pola wymaga sprecyzowania, i — jeśli chodzi o trapezy krzywoliniowe — to można to osiągnąć właśnie za pomocą wspomnianych granic. Rozumie się, że najpierw należy zbadać same granice (2), abstrahując od ich znaczenia geometrycznego. Temu właśnie poświęcimy niniejszy rozdział.

Granice postaci (2) odgrywają szczególnie ważną rolę w analizie matematycznej i w rozmaitych jej zastosowaniach. Dlatego też rozwinięte tu idee w różnych wariantach będą się niejednokrotnie powtarzały w całej książce.

295. Definicja. Niech będzie dana funkcja f(x) określona w pewnym przedziale <a, ó>. Rozbijamy ten przedział w dowolny sposób na części, wstawiając pomiędzy a i b punkty

podziału (1). Największą z różnic Ax, — x,+₁—x_l (i = 0, 1, 2.....n-1) w dalszym ciągu

będziemy oznaczali przez A.

(‘) Polski termin całka wprowadził Jan Śniadecki jako odpowiednik terminu integral (od łacińskiego integer — całkowity) wprowadzonego przez ucznia i współpracownika Leibniza Jana Bernoulliego. Leibniz mówił początkowo „summa” (przyp. tłumacza).

6 Bachunek różniczkowy