0085

87

§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej

298. Klasy funkcji całkowalnych. Zastosujemy teraz znalezione kryterium do ustalenia pewnych klas funkcji całkowalnych.

I.    Każda funkcja ciągła w przedziale <a, bj jest w tym przedziale całkowalna.

Dowód. Jeśli funkcja/(x) jest ciągła, to na mocy wniosku z twierdzenia Cantora [87]

do każdej liczby s > 0 można dobrać takie 5 > 0, że jeśli tylko przedział (a, by jest rozbity na odcinki o długościach Ax, < 5, to wszystkie co, spełniają nierówność co, < s. Stąd mamy

W—1    fł—l

y co, Ax, < e ^ Ax, = e(b—a).

t-o    i-o

Ponieważ i—a jest liczbą stałą, a e jest dowolnie nudę, więc w tym przypadku zachodzi warunek (8), a stąd wynika już istnienie całki.

Udowodnione twierdzenie można jeszcze trochę uogólnić.

II. Każda funkcja f(x) ograniczona w przedziale <a, by i mająca w nim tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna.

Dowód. Oznaczamy punkty nieciągłości przez x\ x", ...,x^(k). Niech będzie dana dowolna liczba e > 0. Dobieramy do punktów nieciągłości ich otoczenia

(x'—e’, x'+e'),    (x"-s", x"-M")>    ....    (x<^k'-s<*\ x^ik>+e^m)

w ten sposób, żeby długość każdego z nich była mniejsza niż e. W pozostałych przedziałach (domkniętych) funkcja / (x) jest ciągła i możemy do każdego z nich z osobna zastosować wniosek z twierdzenia Cantora. Z liczb S dobranych do danego s wybieramy najmniejszą (którą również będziemy oznaczali literą S). Liczba ta będzie już dobra dla każdego z wyżej wspomnianych przedziałów. Możemy ją przy tym oczywiście tak dobrać, żeby było S < e. Rozbijamy teraz rozpatrywany przedział na części o długościach Ax, mniejszych niż <5. Otrzymamy w ten sposób dwa rodzaje przedziałów podziału:

1)    Przedziały leżące całkowicie na zewnątrz wybranych poprzednio otoczeń punktów nieciągłości funkcji /(x). Oscylacja co, funkcji w tych przedziałach jest mniejsza od e.

2)    Przedziały albo całkowicie zawarte wewnątrz wyróżnionych otoczeń, albo też częściowo na nie zachodzące.

Ponieważ funkcja / (x) jest z założenia ograniczona, więc jej oscylacja £ł w całym przedziale (fi, by jest skończona, a wobec tego jej oscylacja w każdym podprzedziale jest niewiększa niż Q.

Sumę

2 ^Axi

i

rozbijamy na dwie części

<Of Ax,. i co,.. Ax,.., i    r

w których sumowanie przebiega odpowiednio po przedziałach pierwszego rodzaju i po przedziałach drugiego rodzaju.