6 (36)

109

Definicja i istnienie całki

i > 0, że 8 < e oraz warunek |s-f| < <5 pociąga |y(s)- <p(t)\ < e dla s, te im, M>.

Ponieważ / e#(a), więc istnieje podział P= (x₀, x,, ...„X,} przedziału <«, fc> taki, że

(18)    ŁW,«)~L(P,/, a) <>. J

Niech M, oraz m_t mają to samo znaczenie co w definicji 6.1, i niech Mf, mf będą analogicznymi liczbami dla h. Podzielmy liczby 1,.... n na dwie klasy: i e A, jeżeli M,-m, <S,ie B, jeżeli Mj—mi ^ 5.

Dla ieA nasz wybór S pokazuje, że Mf-mf <e. W przypadku kiedy ieB mamy Mf-mf < 2K, gdzie K = supMOI, przy m < t < M. Z (18) wynika, że

09)    ć £ da, < £ (M,- m,)da, < 6²

ieB    ieB

i wobec tego £ da, < ó. Wynika stąd, że

ieB

V(P, h, ct)—L(P, h, a) = £ (Mf—m,*)da₁+ 2] (Mf-mf)da, $

ieB

< e[a(b)-a(a)]+2#:ó < e[a(6)-a(a)+2X].

Ponieważ e było dowolną liczbą, więc z twierdzenia 6.6 wynika, że h e #(*).

Uwaga. Twierdzenie powyższe sugeruje pytanie. Jakie funkcje tworzą klasę funkcji całkowalnych w sensie Riemanna? Odpowiedź jest zawarta w twierdzeniu 11.33b).

Własności całki

6.12. Twierdzenie, a) Jeżelifi e &(a) if₂ e 3t{a) na <a, b>, t°fi +h ^e #(«). cf £ &(«) przy dowolnej stałej c oraz

]iSi+h)d«Ahd*Af₂d«, \tfda = c\fda.

a ■    a    a    ^a

b) Jeżeliffa) < f₂(x) na <a, 6>, to

b    b

Ifid* < Ifidtt.

a    a

I c) Jeżelife £{«.) na <a, 6> i jeśli a <c<b, tpfe £(*)«« <a, c> i/e £(a) na <c, 6> oraz lfd<t = J/</a+f/d«.

a    a e. i ,

I d) Jeśli fe &(a) na ia, b> i jeśli |/(x)| < Mna<a, b>» to

< M[a(h)-a(a)].