5167288136

kątów A\AC i C\CA przecinają się w punkcie B', a punkty A' oraz C' definiujemy analogicznie. Dowieść, że punkty A', B', C" leżą na jednej prostej, która przechodzi przez środek okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Drugi mecz matematyczny:

1.    Dla danej liczby naturalnej n > 1 niech A oznacza liczbę sposobów na jaką można zapisać n w postaci sumy liczb całkowitych dodatnich nieparzystych, a B niech oznacza liczbę sposobów na jaką można zapisać n w postaci sumy różnych liczb całkowitych dodatnich (w obu zapisach nie zwracamy uwagi na kolejność występowania składników). Udowodnić, że A — B.

2.    Niech k, t > 1 będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Mając daną permutację (ai, a₂,..., a_n) zbioru {1,2,..., n} możemy zamienić w niej dwie liczby miejscami jeśli różnią się o k lub t. Wykazać, że zaczynając od permutacji (1,2,..., n) możemy otrzymać każdą permutację zbioru {1,2,..., n} wtedy i tylko wtedy, gdy n > k +1 — 1.

3.    Zbiory Ai, A₂, ..., A_n są podzbiorami zbioru n-elementowego A, przy czym każdy z nich ma co najmniej 2 elementy. Dla każdego dwuelementowego podzbioru A! zbioru A istnieje dokładnie jeden taki Ai, że A! C Ai. Udowodnić, że jeśli 1 < i, j < n to Ą n Aj ^ 0.

4.    Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań

f a² - 2b² = 1

l 2b² - 3c² = 1

[ ab + bc + ca — 1

5.    Niech ai, a₂, ...,a_n będą różnymi liczbami naturalnymi. Dowieść, że zachodzi nierówność

al + al + ... + aJ_n + cĄ +    + ... + cl^ ^    -1- A-... +

6.    Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnić, że wielomian (x² + x)²ⁿ + 1 jest nierozkładalny na iloczyn niestałych wielomianów o współczynnikach całkowitych.

15