0089

91

§ 1. Definicja i warunki istnienia całki oznaczonej

Konieczność tego warunku wynika z nierówności

to, Ax_t > £ co,' Axę > e £ Axę,

i    i'    i'

jeśli tylko dobierzemy d tak, żeby pierwsza suma była mniejsza niż ea Dostateczność warunku wynika z oszacowania

y (o, Ax, = ^ to,' Ax_t’+ ^ co," Ax_t" < !2 ^Axę+e ^ Axę- < Qa+e (b—a)

i    i    i"    i"

(Q oznacza tu jak zwykle oscylację funkcji w całym rozpatrywanym przedziale; symbolem f" numerowane są te podprzedzialy, w których oscylację co,-et).

4)    Nową postać kryterium całkowalności zastosujemy do dowodu następującego twierdzenia:

Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <n, by i przyjmuje wartości z przedziału <c, dj, w którym

funkcja tp(y) jest ciągła, to funkcja złożona ?>(/(*)) jest także całkowalna w przedziale <a, by.

Niech będą dane dwie dowolne liczby e>0 i cr>0. Ponieważ funkcja <p(y) jest ciągła, więc do liczby e można dobrać takie i; >0, że w dowolnym przedziale wartości o długości mniejszej niż t] oscylacja funkcji ę będzie mniejsza niż £.

Z całkowalności funkcji / wynika, że do liczb tj i a można dobrać takie 6, że jeśli tylko przedział jest rozbity na podprzedziały Ax, o długościach mniejszych niż <5, to suma J£Ax,' długości tych spośród pod-

v

przedziałów, w których oscylacja funkcji to,-(/)>??, jest sama mniejsza niż o [patrz 3)]. Dla pozostałych podprzedziałów mamy co,"(/)<»?, więc ze sposobu wyboru liczby r) wynika już, że co₍"[t>(/)]<£. Widzimy zatem, że oscylacje funkcji złożonej <p(f(x)) mogą być >e tylko w niektórych podprzedziałach pierwszej grupy, których suma długości jest, jak wiadomo, mniejsza niż a. Stosując teraz do funkcji złożonej kryterium 3), otrzymujemy jej całkowalność.

5)    Jeśli o funkcji <p założymy, że jest tylko całkowalna, to funkcja złożona może okazać się niecałko-walna. Oto przykład:

Jako funkcję/(at) weźmiemy funkcję badaną już wyżej w 1); jest ona całkowalna w przedziale <0,1 >, a ponadto przyjmuje wartości także z tego przedziału. Niech będzie dalej

9>(y) =1 dla 0 < y < 1

9?(0) — 0. Funkcja <p(y) jest również całkowalna w przedziale <0, 1 >.

Funkcja złożona ę>(/W) jest jednakże, jak łatwo zauważyć, funkcją Dirichleta [patrz 2)], która jest niecałkowalna w przedziale <0, 1>.

301. Całki górna i dolna jako granice. Na zakończenie powrócimy do całek dolnej i górnej, które były zdefiniowane w ustępie 296 jako kresy sum Darboux s i S. Pokażemy teraz, że są one zarazem granicami wymienionych sum.

Twierdzenie Darboux. Dla każdej ograniczonej funkcji f(x) zachodzą następujące równości:

/* = lim s , I* = lim S.

Jl-»o    A-»0

Dowód przeprowadzimy na przykład dla sum górnych.

Przede wszystkim do z góry danej liczby £>0 dobierzemy taki podział przedziału O, by, że dla odpowiadającej mu sumy S' zachodzi nierówność

(9)    S'</*+je.

Jest to możliwe, ponieważ /* jest kresem dolnym zbioru sum górnych. Niech podział ten ma m' (wewnętrznych) punktów dzielących.