DSC07135 (6)

Całki oznaczone

Przykłady

Podstawowe twierdzenia

• Przykład 8.1

Korzystając z definicji oraz z faktu, że funkcje dągłe są całkowalne obliczyć podane rłflri

0

3

WifozówŁa. b*) przedział całkowania podzielić tak, aby punkty podziału tworzyły ćiiig gw rwrtryrTny. c) zMacmć wzór:

?) przedoal całlumnia podziefić tak, aby punkty podziału tworzyły ciąg geometryczny oraz wykorzystać wzór.

Przykłady

199

Rozwiązanie

a) Funkcja /(*) = * jest całkowalna na przedziale [a, 6] = [1,2], więc możemy skorzystać ze wzoru

I

/(*) dx = lim

Zatem

b*) Funkcja /(z) = — jest całkowalna na przedziale [a,6] = [3,5], więc podziałów przedziału całkowania oraz wyborów punktów pośrednich możemy dokonać dowolnie. Niech zatem

*o — 3,X\ = 3-7,xi — 3q⁷,...,Zn—i = 3g^n-l,x„ = 39" = 5

będą punktami podziału V_n odcinka [3,5]. Wtedy q = Ponieważ odcinek [x_n-i,x_n|

i/or]-

jest najdłuższy, więc średnica <5 (P„) tego podziału jest równa x_n — z_n-i = 3ą^n-1(ą— 1). Oczywiście

-1-

lim 6 (Pn) = lim |3

n—CO    n—OO I

Jako punkty pośrednie tego podziału przyjmujemy x\ = x_t. gdzie 1 $ i^n. Wtedy

X|+1 — Xi

iSs!

vW J

” JSt. [ⁿ(V^~^ł)] ⁼ »'St ^ i ^{= h,}f'

n

W ostatniej granicy wykorzystaliśmy równość lim —-- = Ino. Zatem

/*-•“i-