DSC07138 (6)

204

Całki oznaczone

Zatem w podanym wzorze możemy przyjąć (o,6| = f0,jr| oraz /(z) = ₈j_nz. Wzór ten można stosować, bo funkcja /(z) = sin x jest ciągła na przedziale [0, jr|. Stąd

w

(^Sin| ^ f¹ + - • +    ?)] =    =2.

0

«) Rasumując podobnie jak w poprzednich przykładach mamy

JS.[i(^^+ł5I+--^)]= *5. [=§•**]    Z

1 ■

Ó

l/l

Metody obGczania całek oznaczonych

Przykład 8.4

Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:

siai

i

c) J sin⁵ z cos³ zdx. Rozwiązanie

i

0

amx = v;

m d

b) J Ve^z — 1 dx, e¹ — 1 = z^a; o

e

d) J —dx, ln x = u.

* m (> o

*<0) - 0. *<3) - 4 dl a Ul dl

0	0
	2 2 # .».‘A «
= 2	( dt-2 f —^l—
■1	J *+l
c	0
M f	r* - I - «*.» JrO
b) / Ve”-\dx	*» - ł - 0,
•	/W w 3f4>, 4a ■

7*

J+J¹'

y i-#'*⁸ y i + *^a

Przykłady

dz = 2j dz-lj o •'tf'

c)

= [2z][ - 2 [arctgz]* = 2 - 2arctg 1 = 2 -    = 2 -

f $	•In x = t», cos zdz =a do
[ sin^5xcos^3 xdi = / sin^8* (l — sin^ax) coexdx	*k Z ---, o =* -1 2
7 4 1	» 1
■ł	* ** 0 ' * “ 2

łM^ł = -®L.

8 L J    2048

d)

o

>

Przykład 8.5

Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone: i    »

a) /zarctgzdz; b) Jz²cosxdx\ o    o

a    V3

c) J xe~^x dx\    d) J'arcctgzdz.

-l    I .ź&tji -

Rozwiązanie Wzór na całkowanie przez części dla całek oznaczonych ma postać

* -    mH

J f{x)g\x)dx= [f(x)g(x)]^ba - J f'{x)g(x)dx.

^a)

1

J zarctg

x dx

/(*) aafdfl ą'(x) = *

fi a . 1‘    1 r *^adr 1    „ .    1 f l+x^a-l ,

"W    T+& = 2^mt*¹-2j -TrZT**

o    o

ijt \ J , . f\ dx k i. fi; 1¹ = 24 ~2 j ^{dx +} J 2l+^=8"2⁺ [2^arCtgXJ_o

1

X ii 2L i

4 a*