DSC07130 (5)

188

Całki nieoznaczone

Zatem rozkład tut ułamki proste ma postać

Ax + B ₊ Cx+ D

I

x«+4

x* - 2r + 2 ^Tx* + 2x + 2 (As + B) (x^ł + 2r + 2) + (Cs + D) (** - 2x + 2)

(**-2*+2) (** + 2*+ 2)

(•4 + C)x³ + (B + 2A + D — 2C)x³ + (2B -f 2.4 — 2D + 2C)x + 2B +2D “    C*ⁱ-2r + 2)(*^a-2x + 2)    ’

Współornmlo A. B.C i D spełniają układ równań

{A+C    =    0,

2A + B-2C + D = 0.

2/4 + 2B + 2C- 2D = 0,

2B + 2D    =    l.

Stąd po rocwiązamu tego układu otrzymujemy: A = -i, B = j, C = ~, D = Tak

o    4    8    4

J

dx

r*-f4

W4

i i 8^X+4

_zz_2* + 2 x^J + 2x + 2

dx

_1 [ (x — 2) dx 1 f (x + 2)dx

~ &J X*-2*+2⁺iy *» + 2x +

Przrtmałrimy teraz Brznik wyrażenia w pierwszej całce tak, aby otrzymać pochodną laniki Mamy

f (x-2)dx    1 f(2x-2-2)dx _ 1 f (2x-2) dx f dx

J *⁵-2r+2    2J x*-2x + 2    2jx'-2x+2 J x*-2x + 2'

W przypadku pierwnej całki otrzymamy

W przypadku drspei całki, rprowadzając mianownik do postaci kanonicznej, mamy z³ -2x + 2 = (x - lj + 1. Tak więc możemy napisać

*-!■!

/ * - i *

y i*-2*+ 2 y C*-l)^ł + l

Zatem

/

/

<U

t*‘ + C = arctg(*.._{1) + a}

Przykłady

Analogicznie postępując z całką f (z + 2) dz

J Ja + 2z+ 2 °^trzymamy

r (z+2) dx J z³ + 2z + 2

= iln(z^ł+2z + 2)

+ arctg(z + l) + C.

Ostatecznie mamy

1

dx

i⁴ + <l

= - g ( i In (z^a - 2z+2) - arc tg(z -1)) + i Q ln (z³+2z+2) + arc tg(x+1)) +C

= -j£ (^ln -2x + 2' ^{+ 2arct}g(^{a: +} l)+2arctg(z-l)^ +C. f) Funkcja podcałkowa ma rozkład na ułamki proste postaci

1    ₌ A B C _ >l(x+l)^a + flz(x-t-l) + Cz

;?(*+ i)³ z ⁺ z + 1 (z + l)²    z(z + l)³

Ax³ + 2Ax + A + Bx⁷ +Bx + Cx {A + B)x⁷ + [2A + B + C]x +A

x(z + l)²    x(*+l)³    '

Zatem szukane współczynniki spełniają układ równań

(A + B    =0,

i 2A + B + C = 0,

l A    =i.

Stąd otrzymujemy >1=1, B = — 1 oraz C = —1. Tak więc

[ dx _ [ f l __J___1    \    _ f dz f dx _ t dx

J z(z + l)^a ~ J \x z + 1    (z+l)³j    ~ J X ] z+1 J (z+1)³

g) Rozkład lej funkcji na ułamki proste ma postać:

_JE?__^A y ^B

(z-i)*

gdzie A,B,C € R. Rozkład ten uzysknmy wykonując tylko przekształcenie algebraiczne. Mamy

z³    (z — 1)* + 2z - 1 _    1    , 2(x -111

(z - 1)» "    , (z-l)^    ⁼ x - 1    (*-!)*

⁼ r^ ⁺ (T=i)?⁺(r^:»)^s'

Ponieważ twierdzenie o rozklodzio funkcji wymiernej właściwej na ułamki proste gwarantuje Jednoznncznodć rozkładu, więc uzyskana suma jest poszukiwanym rozkładem.