DSC07128 (4)

184

Całki nieoznaczone

byli ciągła w punktach xo = 0 . zi = 1 . Zauważmy, że z jednej strony F(0) = Ci , a z drugiej F(0) — Ca. Podobnie F(l) = g + Ca oraz F( 1) = — g + C*. Zatem Ca = Ci oraz C, = i + Ci. Ostatecznie klndąc C\ — C otrzymamy

Z'

Ć.-Ź + C

3    2

dla x € (—oo,0|, dla x € [0.1|.

T“T ⁺ 5 ^{+ c d,tt}

c) Także w tym przykładzie funkcja podcałkowa |2* — 2| jest ciągła na R. Zatem istnieje całka nieoznaczona tej funkcji na R. Obliczymy osobno tę całkę na każdym z przedziałów (—oo, 1], fi, co). Po czym. otrzymane funkcje odpowiednio ^kleimy" w punkcie x = 1. Dla x € (-oo. I) mamy

J |2* — 2| dr = — J (2* - 2) d* = -    + 2x + C,,

a dla z £ fl.oo) mamy

J12* — 2| dz = f (2*-2)dr=^-2z + Ca.

Stałe Ci i Ca należy dobrać w ten sposób, aby funkcja

F(z) =

-7—r + 2x + Ci dla z£(-oo,l|, Ul z

7^-5 — 2z + Ca dla z£[l,oo)

Ul z była ciągła w punkcie z = 1. Podstawiając z = 1 w pierwszym i drugim wzorze otrzymamy odpowiednio

^fu=~Ł+²+^c" i^Nfc-^2+Ca-

Stąd

Ostatecznie kładąc Ca = C dostaniemy F(z) =

~^2^+2x+^2~^4+C dU

U2~^^+C

dla z € (l,oo).

d) Całka nieoznaczona istnieje, gdyż funkcja podcałkowa jest ciągła na R. Funkcja podcałkowa wyraża się wzorem

ln(l + l*|)=(^{In(l_X) dU X}*°'

^V '    \ ln(l + *) dla z £ 0.

Przykłady

185

Gałkę nieoznaczona obliczamy osobno na każdej z półprastych (-00,Oj, |0,oo), a otrzymaną funkcję „sklejamy" tak aby była ciągła. Dla z £ (-oc.Oj, całkując przez częiri, mamy

J In (1 — x) dx = (x — l) ln(l — *) — * + C,.

Podobnie dla z £ [0,00) mamy

/.n(l+x)dx = (*+l) ln(l + x) - x + Ca.

Stale Ci, Ca nnleży dobrać w ten sposób, aby funkcja

_ f (x - 1) ln(l - x) - x + Ci dla z $ 0,

\ (x + 1)ln(l + x) — x + Ca dla x^0

była ciągła w punkcie x = 0. Zauważmy teraz, że z jednej strony mamy F(0) = Ci, a z drugiej F(0) = Ca. Zatem przyjmując Ci = Ca = C otrzymamy

/

ln(l + |x|) dx =

(x — 1) ln(l - x) - x + C dla x < 0, (x-I- l)ln(l+x)-x + C dla z^0.

Całkowanie funkcji wymiernych

• Przykład 7.5

Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:

r[x^2-5x + 9) dx	^b)J	f xdx	<	f (x^3+x + l) dx
1 x^2 + 5x + 6		(*^2 + 2)^2’		1 x<+x^ł
7 xdx	A\ j	f te .
1 X^3 + 1'	^6) J	X* +4*		' x(* + l)^3’
f 3?dx	W	f (7-2x)dx	B	( 3?dx
1 (*-l)^3'		' x^2 +4x+ 13'		x®+ 8'

Rozwiązanie

a) Najpierw zauważmy, że

z^a-5x + 0 _    3-10z

x^a + 5x + 6    (x + 2)(x + 3)

Teraz funkcję wymierną 7—f    rozkładamy na ułamki proste. Mamy

(x + 2j(x + 3)

3 — 10x    _ A . B _ (A + B)x + 3A+2B

(x + 2)(x + 3) “x+2    x+3    (* + 2)(x + 3)

Współczynniki A i B spełniają zatem układ równań

/ A + B =-10,

134+20=    3.