DSC07129 (5)

186

Całki nieoznaczone

Stąd .4 = 23, B = —33. Tak więc przechodząc do całki otrzymamy

I

x^a - 5x + 9 x^a + 5x + 6

= /^ ^{+ 23}/jTS-^/iTi

= x + 231n|x + 2| — 33 ln |x + 3| + C.

__3 iń—r ¹

21    2 (x^a + 2)

hf

i^j + j = i

2rdr as dt

+C.

» Jwrk

c) Najpierw zauważmy, że

x³+x + 1    x³ +x+ 1

x*+x³    x²(x³ + l)'

Zatem rozkład na ułamki proste ma postać

x³ -ł- x + 1 _ A    B    Cx + D

X* + X³    X x^a    X² + l

A (x^a + l) x + B (x^a + l) + (Cx + D)x³ x^a (x^a + 1)

(A + C)x³ + (£> + B)jt + Ax + B x^a(x^a + l)

Tak więc szukane współczyniki spełniają układ równań postaci

{A + C = 1, B + D = 0, A = 1, B = 1.

Stąd A = l, B = l, C = 0iD = —1. Wracając do całki otrzymamy f x³+x + l ,    ((\ . 1    1    \ _:

J x*+x^a y

⁼ /f⁺/S“/^_T=ln|x|-i-arctg₃: + c;

d) Mianownik funkcji podcałkowej można przedstawić w postaci

x³ + l = (x + 1) (x^a - x + l) , więc rozkład na ułamki proste jest w postaci

*    _ ^A + B* + C ₌ (A + B)x^a + (B + C - Ą)x + A ± £

Z* + 1    X+1 X* - X + 1    (x + 1) (x^a - X i 1)

Zatem szukane współczynniki spełniają układ równań

fA + B    =» 0,

{ -A + B + C = 1, l A + C    =0.

$0ŚL= [ f-2-+ 3— —^ dx = -i [ -^- + 1 f fe*i) dx

przykłady

Stąd otrzymamy A = B = ^,C = i. Tak więc mamy

J x^a + l J l * +1 s^ł-x+ll 3.J I+13J ?-z+T

Oczywiście

Natomiast w przypadku drugiej całki zauważmy, że

(*^a -1 +1)' = 2x 1,

więc możemy napisać

/ (g +1) dx ₌ l f 2g — 1 + 3 . _ 1 f (2z -1) di 3 / dx

J z² —x + 1    2 / i^J-i+l 2 J x² — x+l    2 J x²-x + r

W pierwszej całce licznik jest pochodną mianownika, więc

1

(2z --l)ds _[n (_Ił__{a: + 1})_+C r² — z + 1    SIS} 3T '

W przypadku drugiej całki, sprowadzając mianownik do postaci kanonicznej, otrzymamy

Zatem

f dx _ I di _ f_dx

3; MB H gg

V y/3

al

⁼ ^^arctg‘^{+C =} ^^Bret6

Ostatecznie uwzględniając otrzymane wyniki częściowe mamy

/#TT⁼'“l^{ln|l+l1 +} J¹" (*^J-*+!) +T^arct6^^i+a

e) Mianownik funkcji podcałkowej możemy przedstawić w postaci x^Ą + 4 = (*^a — 2a: + 2) (z* + 2* + 2).